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4. 定义一种运算“☆”，其规则是 $ a☆b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $，如 $ 3☆4 = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5 $，根据这个规则，计算 $ 5☆12 $ 的值是()
A.$ \sqrt{13} $
B.$ 13 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
A.$ \sqrt{13} $
B.$ 13 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
答案
B
解析
根据题中定义的运算规则$a☆b = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$，将$a = 5$，$b = 12$代入可得：$5☆12=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13$。
5. 若 $ x $ 是面积为 $ 10 $ 的正方形的边长，则下列表示 $ x $ 的大小的式子中，正确的是()
A.$ 4 ＜ x ＜ 5 $
B.$ 3 ＜ x ＜ 4 $
C.$ 2 ＜ x ＜ 3 $
D.$ 1 ＜ x ＜ 3 $
A.$ 4 ＜ x ＜ 5 $
B.$ 3 ＜ x ＜ 4 $
C.$ 2 ＜ x ＜ 3 $
D.$ 1 ＜ x ＜ 3 $
答案
B
解析
由题意得，正方形面积为10，边长$x = \sqrt{10}$。因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且$9 ＜ 10 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ x ＜ 4$。
二、填空题
6. 请写出一个正整数 $ m $ 的值，使得 $ \sqrt{8m} $ 是整数：$ m = $.
6. 请写出一个正整数 $ m $ 的值，使得 $ \sqrt{8m} $ 是整数：$ m = $.
答案
$2$（答案不唯一，$2× k^2$，$k$为正整数均可，如$2$、$8$、$18$等，此处取最小正整数$2$）
$2$
$2$
解析
要使$\sqrt{8m}$是整数，需$8m$为完全平方数。
$8m = 2^3m$，完全平方数的质因数指数为偶数，所以$m$需补充一个$2$，即$m = 2$时，$8m = 16$，$\sqrt{16}=4$是整数。
$8m = 2^3m$，完全平方数的质因数指数为偶数，所以$m$需补充一个$2$，即$m = 2$时，$8m = 16$，$\sqrt{16}=4$是整数。
7. 比较大小：$ \sqrt{15} \_\_\_\_\_\_ 4 $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).
答案
因为$4= \sqrt{16}$，
由于$15 ＜ 16$，
根据平方根函数单调递增的性质，有：
$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，
即$\sqrt{15} ＜ 4$，
所以，答案为：$ ＜ $。
由于$15 ＜ 16$，
根据平方根函数单调递增的性质，有：
$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，
即$\sqrt{15} ＜ 4$，
所以，答案为：$ ＜ $。
8. 已知 $ x $ 是 $ 81 $ 的算术平方根，则 $ x $ 的算术平方根是.
答案
首先，根据算术平方根的定义，若一个非负数 $a$ 的平方等于 $b$，即 $a^2 = b$，则 $a$ 是 $b$的算术平方根。
由题意知，$x$ 是 $81$ 的算术平方根，所以有：
$x = \sqrt{81} = 9$，
接下来，需要求 $x$（即$9$）的算术平方根，即：
$\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3$。
故答案为：$3$。
由题意知，$x$ 是 $81$ 的算术平方根，所以有：
$x = \sqrt{81} = 9$，
接下来，需要求 $x$（即$9$）的算术平方根，即：
$\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3$。
故答案为：$3$。
9. 已知 $ \sqrt{30} \approx 5.477 $，则 $ -\sqrt{0.3} \approx $.
答案
$\because \sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{30}{100}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}\approx\dfrac{5.477}{10}=0.5477$
$\therefore -\sqrt{0.3}\approx -0.5477$
-0.5477
$\therefore -\sqrt{0.3}\approx -0.5477$
-0.5477
10. 若一个正数的算术平方根是 $ a $，则比这个正数大 $ 5 $ 的数的算术平方根是(用含 $ a $ 的式子表示).
答案
由题意知，一个正数的算术平方根是 $a$，
则这个正数为 $a^2$。
比这个正数大 $5$ 的数为 $a^2 + 5$，
因此，比这个正数大 $5$ 的数的算术平方根为：
$\sqrt{a^2 + 5}$。
故答案为：$\sqrt{a^2 + 5}$。
则这个正数为 $a^2$。
比这个正数大 $5$ 的数为 $a^2 + 5$，
因此，比这个正数大 $5$ 的数的算术平方根为：
$\sqrt{a^2 + 5}$。
故答案为：$\sqrt{a^2 + 5}$。
三、解答题
11. 求下列各式的值.
（1）$ \sqrt{361} $；
（2）$ \sqrt{6\frac{1}{4}} $；
（3）$ -\sqrt{(-7)^{2}} $；
（4）$ \sqrt{1 - \frac{9}{25}} $；
（5）$ \sqrt{17^{2} - 15^{2}} $；
（6）$ \sqrt{\frac{25}{4}} × \sqrt{16} $.
11. 求下列各式的值.
（1）$ \sqrt{361} $；
（2）$ \sqrt{6\frac{1}{4}} $；
（3）$ -\sqrt{(-7)^{2}} $；
（4）$ \sqrt{1 - \frac{9}{25}} $；
（5）$ \sqrt{17^{2} - 15^{2}} $；
（6）$ \sqrt{\frac{25}{4}} × \sqrt{16} $.
答案
（1）19
（2）$\frac{5}{2}$
（3）-7
（4）$\frac{4}{5}$
（5）8
（6）10
（2）$\frac{5}{2}$
（3）-7
（4）$\frac{4}{5}$
（5）8
（6）10
解析
（1）根据算术平方根的定义，找出平方等于361的正整数，因为$19^2 = 361$，所以$\sqrt{361} = 19$。
（2）先将带分数$6\frac{1}{4}$化为假分数$\frac{25}{4}$，再求其算术平方根，因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，所以$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}=2.5×2/2（化为分数形式相关表述，这里结果为\frac{5}{2}）$，即结果为$\frac{5}{2}$。
（3）先计算$(-7)^2 = 49$，再求$-\sqrt{49}$，因为$7^2 = 49$，所以$-\sqrt{(-7)^2}=-\sqrt{49} = - 7$。
（4）先计算$1 - \frac{9}{25}=\frac{16}{25}$，再求其算术平方根，因为$(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，所以$\sqrt{1 - \frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。
（5）先根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$计算$17^{2}-15^{2}=(17 + 15)×(17 - 15)=32×2 = 64$，再求$\sqrt{64}$，因为$8^2 = 64$，所以$\sqrt{17^{2}-15^{2}} = 8$。
（6）先分别求$\sqrt{\frac{25}{4}}$与$\sqrt{16}$的值，因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，$4^2 = 16$，所以$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$，$\sqrt{16} = 4$，则$\sqrt{\frac{25}{4}}×\sqrt{16}=\frac{5}{2}×4 = 10$。
（2）先将带分数$6\frac{1}{4}$化为假分数$\frac{25}{4}$，再求其算术平方根，因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，所以$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}=2.5×2/2（化为分数形式相关表述，这里结果为\frac{5}{2}）$，即结果为$\frac{5}{2}$。
（3）先计算$(-7)^2 = 49$，再求$-\sqrt{49}$，因为$7^2 = 49$，所以$-\sqrt{(-7)^2}=-\sqrt{49} = - 7$。
（4）先计算$1 - \frac{9}{25}=\frac{16}{25}$，再求其算术平方根，因为$(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，所以$\sqrt{1 - \frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。
（5）先根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$计算$17^{2}-15^{2}=(17 + 15)×(17 - 15)=32×2 = 64$，再求$\sqrt{64}$，因为$8^2 = 64$，所以$\sqrt{17^{2}-15^{2}} = 8$。
（6）先分别求$\sqrt{\frac{25}{4}}$与$\sqrt{16}$的值，因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，$4^2 = 16$，所以$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$，$\sqrt{16} = 4$，则$\sqrt{\frac{25}{4}}×\sqrt{16}=\frac{5}{2}×4 = 10$。
