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1. 若 $ a + \frac{1}{a} = \sqrt{10} $，求 $ a - \frac{1}{a} $ 的值。
答案
$\because a + \frac{1}{a} = \sqrt{10}$，
$\therefore (a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{10})^2$，
即$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 10$，
$\therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = 10 - 2 = 8$。
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 = 8 - 2 = 6$，
$\therefore a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{6}$。
结论：$\pm \sqrt{6}$
$\therefore (a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{10})^2$，
即$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 10$，
$\therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = 10 - 2 = 8$。
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 = 8 - 2 = 6$，
$\therefore a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{6}$。
结论：$\pm \sqrt{6}$
2. 已知 $ m = \sqrt{2029} + 1 $，求代数式 $ m^2 - 2m - 4 $ 的值。
答案
$m = \sqrt{2029} + 1$，则$m - 1 = \sqrt{2029}$，两边平方得$(m - 1)^2 = 2029$，即$m^2 - 2m + 1 = 2029$，移项得$m^2 - 2m = 2028$，所以$m^2 - 2m - 4 = 2028 - 4 = 2024$。
2024
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