5. 如图，$ D $ 为 $ △ ABC $ 的边 $ BC $ 上一点，$ AB = 13 $，$ AD = 12 $，$ AC = 15 $，$ BD = 5 $，则 $ BC $ 的长为.

在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5。
因为$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$，
所以$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
所以∠ADC=180° - ∠ADB=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，AD=12，AC=15，
由勾股定理得：$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$，
所以BC=BD + DC=5 + 9=14。
14

6. 已知一个三角形的三边长分别为 $ n + 1,n - 1,8 $，其中 $ n + 1 $ 是最长边的长，则当 $ n $ 的值为时，该三角形为直角三角形.

16

因为$n + 1$是最长边，所以$n + 1$为直角三角形的斜边。根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，即$(n - 1)^2 + 8^2 = (n + 1)^2$。
展开等式：$(n^2 - 2n + 1) + 64 = n^2 + 2n + 1$
化简得：$n^2 - 2n + 65 = n^2 + 2n + 1$
移项合并同类项：$-4n = -64$
解得：$n = 16$
验证：当$n = 16$时，三边长为$17$，$15$，$8$，满足$15^2 + 8^2 = 17^2$，且$17$为最长边。

7. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = 90^{\circ} $，$ AB = BC = 2 $，$ CD = 3 $，$ AD = 1 $，则 $ ∠ DAB $ 的度数为.

连接$AC$，
由于$∠B=90°$，$AB=BC=2$，
根据等腰直角三角形的性质，可知$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8$，
$∠BAC=∠ACB=45°$，
已知$CD=3$，$AD=1$，
计算$AC^{2} + AD^{2}$与$CD^{2}$：
$AC^{2} + AD^{2} = 8 + 1^{2} = 9$，
$CD^{2} = 3^{2} = 9$，
由于$AC^{2} + AD^{2} = CD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理可知：$∠DAC=90°$，
因此，$∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°$。
故答案为：$135°$。

8. 如图，在 $ 3 × 3 $ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $ 1 $，$ A,B $ 两点均为格点(网格线的交点)，以 $ AB $ 为一边画直角三角形 $ ABC $，且点 $ C $ 也为格点，则符合条件的点 $ C $ 的个数为.

答案略

9. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 \mathrm{ cm} $，$ AD = 4 \mathrm{ cm} $，$ BC = 13 \mathrm{ cm} $，$ CD = 12 \mathrm{ cm} $，且 $ ∠ A = 90^{\circ} $.求四边形 $ ABCD $ 的面积.

连接BD。
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
由勾股定理得：BD²=AB²+AD²=3²+4²=25，∴BD=5cm。
S△ABD=1/2×AB×AD=1/2×3×4=6cm²。
在△BCD中，BD=5cm，CD=12cm，BC=13cm，
∵5²+12²=25+144=169=13²，即BD²+CD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°。
S△BCD=1/2×BD×CD=1/2×5×12=30cm²。
四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36cm²。
答：四边形ABCD的面积为36cm²。