【知识点】矩形的判定
有一个角是直角的是矩形.(定义)
对角线的平行四边形是矩形.
有三个角是的四边形是矩形.

[知识点]平行四边形　相等　直角

【解析】
无
【答案】
平行四边形；相等；直角
【知识点】
矩形的判定、平行四边形、直角
【点评】
本题考查矩形的判定相关知识点，属于基础内容考查。
【难度系数】
0.9

1. 为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具(如图1).用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架$ABCD$，并在$A$与$C$，$B$与$D$两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条$BC$，用左手向右推动框架至$AB⊥ BC$(如图2)，观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法：①四边形$ABCD$由平行四边形变为矩形；②$B$，$D$两点之间的距离不变；③四边形$ABCD$的面积不变；④四边形$ABCD$的周长不变.其中正确的是()


A.①②
B.①④
C.①②④
D.①③④

1. B

【解析】
- ①因为平行四边形$ABCD$中$AB⊥BC$，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCD$由平行四边形变为矩形，故①正确。
- ②在变化过程中，$B$，$D$两点之间的距离会发生变化，故②错误。
- ③因为底边$BC$长度不变，高$AB$的长度不变，根据平行四边形面积公式$S = BC× AB$（这里平行四边形和矩形同底等高），所以四边形$ABCD$的面积不变，故③错误。
- ④因为四边形$ABCD$各边长度不变，所以周长不变，故④正确。
综上，①④正确，答案选$B$。
【答案】
$B$
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定、图形的变化
【点评】
本题考查了平行四边形和矩形的相关知识，通过分析图形变化过程中边、角、对角线以及面积、周长的变化情况来判断说法的正确性，需要对相关概念有清晰的理解。
【难度系数】
$0.6$

2. 如图21.3-8，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$OA = OD$，$∠ OAD = 55°$，则$∠ OBA$的度数为()

A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$

2. A

【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
又因为$OA = OD$，所以$OA = OB = OC = OD$，则$AC = BD$。
所以平行四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ DAB = 90°$。
因为$∠ OAD = 55°$，所以$∠ OAB = ∠ DAB - ∠ OAD = 90° - 55° = 35°$。
因为$OA = OB$，所以$∠ OBA = ∠ OAB = 35°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题先利用平行四边形性质推出$AC = BD$从而判定为矩形，再结合角度计算和等腰三角形性质求解$∠ OBA$，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.3

3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是()

A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是$90°$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等

3. C

【解析】
- 选项A：
对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，所以仅测量两条对角线是否相等不能检验四边形桌面是否为矩形。
- 选项B：
度量两个角是$90°$，不能保证四边形的四个角都是$90°$，所以不能检验四边形桌面是否为矩形。
- 选项C：
若两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，根据矩形的判定定理：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，可知该四边形是矩形，所以此方案可行。
- 选项D：
测量两组对边是否分别相等，只能判定四边形是否为平行四边形，不能判定是否为矩形。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、等腰梯形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查矩形的判定方法，需要对每个选项进行分析判断，综合运用所学知识。
【难度系数】
0.6

【例1】如图21.3-9，在矩形$ABCD$中，$BC = 20\ \mathrm{cm}$，点$P$和点$Q$分别从点$B$和点$D$出发，按逆时针方向沿矩形$ABCD$的边运动，点$P$和点$Q$的速度分别为$3\ \mathrm{cm/s}$和$2\ \mathrm{cm/s}$，则最快$\mathrm{s}$后，四边形$ABPQ$变为矩形.

【点拨】由矩形的性质可得$BC$与$AD$的关系，再根据矩形的判定定理，需要$BP = AQ$，利用上述条件列出一元一次方程求解.

[例1]4

【解析】
设$t$秒后，四边形$ABPQ$变为矩形。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC = 20\ \mathrm{cm}$，$∠ A=∠ B = 90°$。
当四边形$ABPQ$是矩形时，$BP = AQ$。
已知点$P$的速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，点$Q$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，则$BP = 3t$，$AQ = 20 - 2t$。
所以$3t = 20 - 2t$，
$3t + 2t = 20$，
$5t = 20$，
解得$t = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
矩形的性质、矩形的判定、一元一次方程的应用
【点评】
本题通过设未知数，利用矩形的性质和判定建立方程求解，考查了对矩形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.6$