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甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为 1，2，3，4，接着甲报 5，乙报 6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大 1，当报到的数是 50 时，报数结束；
②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学要拍手一次.
在此过程中，甲同学需拍手多少次.
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为 1，2，3，4，接着甲报 5，乙报 6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大 1，当报到的数是 50 时，报数结束；
②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学要拍手一次.
在此过程中，甲同学需拍手多少次.
答案
解:在此过程中，甲同学需报到:9,21,33，45这4个数时，应拍手4次.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分两步走：首先找出甲同学所有报出的数，再从这些数中筛选出是3的倍数的数，统计其数量。
1. 确定甲的报数规律：四位同学循环报数，甲首次报1，之后每轮（4次报数）甲报的数比上一次多4，所以甲报的数构成首项为1、公差为4的等差数列，通项公式为$4n-3$（$n$为正整数）。
2. 找出甲报的不超过50的所有数：令$4n-3≤50$，解得$n≤13.25$，即$n$可取1到13，对应甲报的数为1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49。
3. 筛选3的倍数：判断这些数中能被3整除的数，统计其数量即可得到甲拍手的次数。
【解析】
1. 列出甲同学的报数序列：根据循环报数规则，甲的报数依次为：1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49。
2. 判断3的倍数：
$9÷3=3$，是3的倍数；
$21÷3=7$，是3的倍数；
$33÷3=11$，是3的倍数；
$45÷3=15$，是3的倍数。
3. 统计数量：符合条件的数共有4个，因此甲同学需拍手4次。
【答案】
4次
【知识点】
循环报数规律，倍数判断
【点评】
本题考查循环规律与倍数概念的结合应用，解题关键是准确找出甲同学的所有报数，再通过整除判断筛选出3的倍数，过程中需要细心列举，避免漏数或错判。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要分两步走：首先找出甲同学所有报出的数，再从这些数中筛选出是3的倍数的数，统计其数量。
1. 确定甲的报数规律：四位同学循环报数，甲首次报1，之后每轮（4次报数）甲报的数比上一次多4，所以甲报的数构成首项为1、公差为4的等差数列，通项公式为$4n-3$（$n$为正整数）。
2. 找出甲报的不超过50的所有数：令$4n-3≤50$，解得$n≤13.25$，即$n$可取1到13，对应甲报的数为1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49。
3. 筛选3的倍数：判断这些数中能被3整除的数，统计其数量即可得到甲拍手的次数。
【解析】
1. 列出甲同学的报数序列：根据循环报数规则，甲的报数依次为：1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49。
2. 判断3的倍数：
$9÷3=3$，是3的倍数；
$21÷3=7$，是3的倍数；
$33÷3=11$，是3的倍数；
$45÷3=15$，是3的倍数。
3. 统计数量：符合条件的数共有4个，因此甲同学需拍手4次。
【答案】
4次
【知识点】
循环报数规律，倍数判断
【点评】
本题考查循环规律与倍数概念的结合应用，解题关键是准确找出甲同学的所有报数，再通过整除判断筛选出3的倍数，过程中需要细心列举，避免漏数或错判。
【难度系数】
0.7
如图是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，求第 2 024 次输出的结果.
答案
解:当输入x的值为625时，输出的值是125;当输入x的值为125时，输出的值是25;当输入x的值为25时，输出的值是5;当输入x的值为5时，输出的值是1;当输入x的值为1时，输出的值是5;当输入x的值为5时，输出的值是1;当输入x的值为1时，输出的值是5,……由上面可以看出，输入两次以后就是5，1两数循环了.(2024−2)÷2=1011.所以2024次输出的结果为1.
解析
【分析】
要解决第2024次输出的结果，直接计算2024次不现实，我们需要先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找到循环规律。首先按照程序规则，输入的数若不等于1则用$\frac{1}{5}x$计算，等于1则用$x+4$计算，逐步计算后观察结果的循环特征，再通过计算循环次数确定第2024次的输出结果。
【解析】
根据运算程序逐步计算：
1. 第1次输入$x=625$，因为$625≠1$，输出$\frac{1}{5}×625=125$；
2. 第2次输入$x=125$，因为$125≠1$，输出$\frac{1}{5}×125=25$；
3. 第3次输入$x=25$，因为$25≠1$，输出$\frac{1}{5}×25=5$；
4. 第4次输入$x=5$，因为$5≠1$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
5. 第5次输入$x=1$，输出$1+4=5$；
6. 第6次输入$x=5$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
……
观察可知：从第3次开始，输出结果以“5、1”为循环节循环，周期为2。
计算剩余循环次数：$2024-2=2022$（次），
$2022÷2=1011$，结果无余数，说明第2024次输出的是循环节的最后一个数。
【答案】
1
【知识点】
有理数运算、规律探究
【点评】
本题结合有理数运算考查规律探究，解题的核心是通过计算前几次输出结果，发现循环规律，将多次运算问题转化为循环周期问题，简化计算过程，锻炼了归纳总结和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决第2024次输出的结果，直接计算2024次不现实，我们需要先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找到循环规律。首先按照程序规则，输入的数若不等于1则用$\frac{1}{5}x$计算，等于1则用$x+4$计算，逐步计算后观察结果的循环特征，再通过计算循环次数确定第2024次的输出结果。
【解析】
根据运算程序逐步计算：
1. 第1次输入$x=625$，因为$625≠1$，输出$\frac{1}{5}×625=125$；
2. 第2次输入$x=125$，因为$125≠1$，输出$\frac{1}{5}×125=25$；
3. 第3次输入$x=25$，因为$25≠1$，输出$\frac{1}{5}×25=5$；
4. 第4次输入$x=5$，因为$5≠1$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
5. 第5次输入$x=1$，输出$1+4=5$；
6. 第6次输入$x=5$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
……
观察可知：从第3次开始，输出结果以“5、1”为循环节循环，周期为2。
计算剩余循环次数：$2024-2=2022$（次），
$2022÷2=1011$，结果无余数，说明第2024次输出的是循环节的最后一个数。
【答案】
1
【知识点】
有理数运算、规律探究
【点评】
本题结合有理数运算考查规律探究，解题的核心是通过计算前几次输出结果，发现循环规律，将多次运算问题转化为循环周期问题，简化计算过程，锻炼了归纳总结和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
老师在讲综合与实践课“设计自己的运算程序”时，在计算器中输入三位数 325，重复该数，得到 325 325，将该数除以 7，然后除以 11，再除以 13.
（1）观察与操作：此时输出结果为
（2）猜想与验证：你发现了什么“数学秘密”？请用所学数学知识解释.
（1）观察与操作：此时输出结果为
325
；任意选一个三位数按上述步骤操作，结果会怎样？请选择一个三位数并写出运算过程.（2）猜想与验证：你发现了什么“数学秘密”？请用所学数学知识解释.
答案
解:(1)325
选择三位数111，得到
111111÷7÷11÷13=111.
(2)任意一个三位数，先扩大1000倍加上原数，再分别除以7、11、13，可得到原数，设任意三位数为a，由题意得
(1000a+a)÷7÷11÷13
=1001a÷7÷11÷13=a.
选择三位数111，得到
111111÷7÷11÷13=111.
(2)任意一个三位数，先扩大1000倍加上原数，再分别除以7、11、13，可得到原数，设任意三位数为a，由题意得
(1000a+a)÷7÷11÷13
=1001a÷7÷11÷13=a.
解析
【分析】
1. 第(1)问：先按照题目给定的步骤，计算重复325得到的325325依次除以7、11、13的结果；再任选一个三位数，重复相同操作步骤，观察输出结果，总结初步规律。
2. 第(2)问：基于第(1)问的操作结果提出猜想，再用字母表示任意三位数，分析重复后的数与原数的数量关系，结合7×11×13=1001这个关键结论，通过代数运算验证猜想，解释其中的数学原理。
【解析】
(1) 计算325对应的结果：
$325325÷7=46475$
$46475÷11=4225$
$4225÷13=325$，所以输出结果为325。
选择三位数111进行操作：
重复该数得到111111，
$111111÷7=15873$
$15873÷11=1443$
$1443÷13=111$，结果为111。
(2) 猜想：任意一个三位数按上述步骤操作后，结果为原三位数。
验证：设任意三位数为$a$（$100≤ a≤999$，$a$为整数），重复该数得到的数为$1000a+a=1001a$，
因为$7×11×13=1001$，所以：
$(1000a+a)÷7÷11÷13=1001a÷(7×11×13)=1001a÷1001=a$，
即操作后结果为原三位数，猜想成立。
【答案】
(1) 325；选择三位数111，运算过程：111111÷7÷11÷13=111；
(2) 任意一个三位数按上述步骤操作后结果为原三位数，解释：设任意三位数为$a$，重复该数得到$1001a$，而$7×11×13=1001$，故$1001a÷7÷11÷13=a$。
【知识点】
有理数混合运算；用字母表示数；数的组成变形
【点评】
本题通过具体操作引导学生从特殊案例归纳一般规律，再用代数方法严谨验证，既考查了有理数运算能力，又培养了归纳猜想与逻辑推理能力，体现了从特殊到一般的数学思想，帮助学生理解数的运算规律与代数表示的联系。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：先按照题目给定的步骤，计算重复325得到的325325依次除以7、11、13的结果；再任选一个三位数，重复相同操作步骤，观察输出结果，总结初步规律。
2. 第(2)问：基于第(1)问的操作结果提出猜想，再用字母表示任意三位数，分析重复后的数与原数的数量关系，结合7×11×13=1001这个关键结论，通过代数运算验证猜想，解释其中的数学原理。
【解析】
(1) 计算325对应的结果：
$325325÷7=46475$
$46475÷11=4225$
$4225÷13=325$，所以输出结果为325。
选择三位数111进行操作：
重复该数得到111111，
$111111÷7=15873$
$15873÷11=1443$
$1443÷13=111$，结果为111。
(2) 猜想：任意一个三位数按上述步骤操作后，结果为原三位数。
验证：设任意三位数为$a$（$100≤ a≤999$，$a$为整数），重复该数得到的数为$1000a+a=1001a$，
因为$7×11×13=1001$，所以：
$(1000a+a)÷7÷11÷13=1001a÷(7×11×13)=1001a÷1001=a$，
即操作后结果为原三位数，猜想成立。
【答案】
(1) 325；选择三位数111，运算过程：111111÷7÷11÷13=111；
(2) 任意一个三位数按上述步骤操作后结果为原三位数，解释：设任意三位数为$a$，重复该数得到$1001a$，而$7×11×13=1001$，故$1001a÷7÷11÷13=a$。
【知识点】
有理数混合运算；用字母表示数；数的组成变形
【点评】
本题通过具体操作引导学生从特殊案例归纳一般规律，再用代数方法严谨验证，既考查了有理数运算能力，又培养了归纳猜想与逻辑推理能力，体现了从特殊到一般的数学思想，帮助学生理解数的运算规律与代数表示的联系。
【难度系数】
0.8
