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1. (★)正数 $ a $ 的平方根表示为，算术平方根表示为；$ 0 $ 的平方根是，算术平方根是；负数平方根。
答案
$\pm \sqrt{a}$，$\sqrt{a}$，$0$， $0$，没有（或 无）。
解析
正数 $a$ 的平方根有两个，分别为正的和负的两个值，因此表示为 $\pm\sqrt{a}$；算术平方根取正值，即 $\sqrt{a}$；$0$ 的平方根为 $0$，算术平方根也为 $0$；负数没有平方根，因为在实数范围内，平方运算的结果非负。
2. (★)某中学有一块面积为 $ 10 \mathrm{m}^2 $ 的正方形花坛，则该花坛的边长为。
答案
$\sqrt{10}$
解析
设正方形花坛的边长为 $ x $ 米，根据正方形面积公式可得 $ x^2 = 10 $，解得 $ x = \sqrt{10} $（边长为正数，舍去负值）。
3. (★)形如的式子叫作二次根式。二次根式(填“是”或“不是”)代数式。
答案
$\sqrt{a}(a≥0)$；是
解析
形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子叫作二次根式。二次根式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，所以是代数式。
4. (★)当 $ x $ 满足什么条件时，$ \sqrt{x} $ 在实数范围内有意义？$ \sqrt{x^2} $ 呢？$ \sqrt{x^3} $ 呢？
答案
要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数必须是非负数。
1. 对于$\sqrt{x}$：被开方数为$x$，所以$x≥0$。
2. 对于$\sqrt{x^2}$：被开方数为$x^2$，因为任何实数的平方都大于等于$0$，即$x^2≥0$恒成立，所以$x$为任意实数。
3. 对于$\sqrt{x^3}$：被开方数为$x^3$，$x^3≥0$，解得$x≥0$。
综上：
$\sqrt{x}$有意义的条件是$x≥0$；
$\sqrt{x^2}$有意义的条件是$x$为任意实数；
$\sqrt{x^3}$有意义的条件是$x≥0$。
1. 对于$\sqrt{x}$：被开方数为$x$，所以$x≥0$。
2. 对于$\sqrt{x^2}$：被开方数为$x^2$，因为任何实数的平方都大于等于$0$，即$x^2≥0$恒成立，所以$x$为任意实数。
3. 对于$\sqrt{x^3}$：被开方数为$x^3$，$x^3≥0$，解得$x≥0$。
综上：
$\sqrt{x}$有意义的条件是$x≥0$；
$\sqrt{x^2}$有意义的条件是$x$为任意实数；
$\sqrt{x^3}$有意义的条件是$x≥0$。
5. (★)下列式子不是二次根式的是【 】
A.$ \sqrt{5} $
B.$ \sqrt{0.5} $
C.$ \dfrac{1}{x} $
D.$ \sqrt{\dfrac{1}{3}} $
A.$ \sqrt{5} $
B.$ \sqrt{0.5} $
C.$ \dfrac{1}{x} $
D.$ \sqrt{\dfrac{1}{3}} $
答案
C
解析
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子叫做二次根式。
选项A：$\sqrt{5}$，被开方数$5＞0$，是二次根式。
选项B：$\sqrt{0.5}$，被开方数$0.5＞0$，是二次根式。
选项C：$\frac{1}{x}$，不符合二次根式的形式，不是二次根式。
选项D：$\sqrt{\frac{1}{3}}$，被开方数$\frac{1}{3}＞0$，是二次根式。
选项A：$\sqrt{5}$，被开方数$5＞0$，是二次根式。
选项B：$\sqrt{0.5}$，被开方数$0.5＞0$，是二次根式。
选项C：$\frac{1}{x}$，不符合二次根式的形式，不是二次根式。
选项D：$\sqrt{\frac{1}{3}}$，被开方数$\frac{1}{3}＞0$，是二次根式。
6. (★)下列各式一定是二次根式的是【 】
A.$ \sqrt{-7} $
B.$ \sqrt[3]{m} $
C.$ \sqrt{1 + x^2} $
D.$ \sqrt{2x} $
A.$ \sqrt{-7} $
B.$ \sqrt[3]{m} $
C.$ \sqrt{1 + x^2} $
D.$ \sqrt{2x} $
答案
C
解析
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，逐一分析选项：
选项A：对于$\sqrt{-7}$，被开方数$-7＜0$，不满足二次根式中被开方数是非负数的条件，所以该式不是二次根式。
选项B：$\sqrt[3]{m}$的根指数是$3$，而二次根式的根指数是$2$，所以该式不是二次根式。
选项C：因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞0$，即被开方数$1 + x^{2}$恒大于$0$，满足二次根式的定义，所以$\sqrt{1 + x^{2}}$是二次根式。
选项D：对于$\sqrt{2x}$，当$x＜0$时，$2x＜0$，不满足二次根式中被开方数是非负数的条件，所以该式不一定是二次根式。
选项A：对于$\sqrt{-7}$，被开方数$-7＜0$，不满足二次根式中被开方数是非负数的条件，所以该式不是二次根式。
选项B：$\sqrt[3]{m}$的根指数是$3$，而二次根式的根指数是$2$，所以该式不是二次根式。
选项C：因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞0$，即被开方数$1 + x^{2}$恒大于$0$，满足二次根式的定义，所以$\sqrt{1 + x^{2}}$是二次根式。
选项D：对于$\sqrt{2x}$，当$x＜0$时，$2x＜0$，不满足二次根式中被开方数是非负数的条件，所以该式不一定是二次根式。
7. (★)有下列各式：① $ \sqrt{5} $；② $ -\sqrt{5} $；③ $ \sqrt{-5} $；④ $ \sqrt[3]{10} $；⑤ $ \sqrt{-x^2 - 1} $；⑥ $ \sqrt{x + y} (x ≥ 0, y ≥ 0) $；⑦ $ -\sqrt{m + 2} (m ≥ -2) $；⑧ $ \sqrt[4]{2} $；⑨ $ \sqrt{\dfrac{n}{m}} (mn ＞ 0) $；⑩ $ \sqrt{-(x - 2)^2} (x ≠ 2) $。其中(填序号)是二次根式。
答案
①②⑥⑦⑨
解析
二次根式需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
①$\sqrt{5}$：根指数2，被开方数5＞0，是二次根式；
②$-\sqrt{5}$：根指数2，被开方数5＞0，是二次根式；
③$\sqrt{-5}$：被开方数-5＜0，不是二次根式；
④$\sqrt[3]{10}$：根指数3，不是二次根式；
⑤$\sqrt{-x^2 - 1}$：$-x^2 - 1=-(x^2 + 1)＜0$，不是二次根式；
⑥$\sqrt{x + y}(x ≥ 0, y ≥ 0)$：根指数2，被开方数$x + y≥0$，是二次根式；
⑦$-\sqrt{m + 2}(m ≥ -2)$：根指数2，被开方数$m + 2≥0$，是二次根式；
⑧$\sqrt[4]{2}$：根指数4，不是二次根式；
⑨$\sqrt{\dfrac{n}{m}}(mn ＞ 0)$：根指数2，$mn＞0$则$\dfrac{n}{m}＞0$，是二次根式；
⑩$\sqrt{-(x - 2)^2}(x ≠ 2)$：$-(x - 2)^2＜0$，不是二次根式。
综上，是二次根式的有①②⑥⑦⑨。
①$\sqrt{5}$：根指数2，被开方数5＞0，是二次根式；
②$-\sqrt{5}$：根指数2，被开方数5＞0，是二次根式；
③$\sqrt{-5}$：被开方数-5＜0，不是二次根式；
④$\sqrt[3]{10}$：根指数3，不是二次根式；
⑤$\sqrt{-x^2 - 1}$：$-x^2 - 1=-(x^2 + 1)＜0$，不是二次根式；
⑥$\sqrt{x + y}(x ≥ 0, y ≥ 0)$：根指数2，被开方数$x + y≥0$，是二次根式；
⑦$-\sqrt{m + 2}(m ≥ -2)$：根指数2，被开方数$m + 2≥0$，是二次根式；
⑧$\sqrt[4]{2}$：根指数4，不是二次根式；
⑨$\sqrt{\dfrac{n}{m}}(mn ＞ 0)$：根指数2，$mn＞0$则$\dfrac{n}{m}＞0$，是二次根式；
⑩$\sqrt{-(x - 2)^2}(x ≠ 2)$：$-(x - 2)^2＜0$，不是二次根式。
综上，是二次根式的有①②⑥⑦⑨。
8. (★)当 $ m = 3 $ 时，$ \sqrt{\dfrac{m^2 + 1}{5}} $ 的值是。
答案
$\sqrt{2}$
解析
当 $ m = 3 $ 时，$ m^2 = 3^2 = 9 $，则 $ m^2 + 1 = 9 + 1 = 10 $，所以 $ \sqrt{\dfrac{m^2 + 1}{5}} = \sqrt{\dfrac{10}{5}} = \sqrt{2} $
9. (★)在实数范围内，$ \sqrt{x - 1} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是【 】
A.$ x ≥ 1 $
B.$ x ≤ 1 $
C.$ x ＞ 1 $
D.$ x ＜ 1 $
A.$ x ≥ 1 $
B.$ x ≤ 1 $
C.$ x ＞ 1 $
D.$ x ＜ 1 $
答案
A
解析
根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，即$x - 1 ≥ 0$，解这个不等式得到$x ≥ 1$。
因此$x$的取值范围是$x ≥ 1$，对应选项A。
因此$x$的取值范围是$x ≥ 1$，对应选项A。
10. (★)使式子 $ \dfrac{\sqrt{2x + 1}}{x - 1} $ 有意义的 $ x $ 的取值范围是。
答案
$x ≥ -\dfrac{1}{2}$ 且 $x ≠ 1$（或填写具体选项标识如题目未给出则按描述结果） （由于原题为填空题形式，此处按要求直接给出范围描述的简化填入方式，若题目有选项则按选项标识填写）
解析
要使式子 $\dfrac{\sqrt{2x + 1}}{x - 1}$ 有意义，需要满足以下两个条件：
1. 分子中的根号内非负，即 $2x + 1 ≥ 0$，解得 $x ≥ -\dfrac{1}{2}$。
2. 分母不为零，即 $x - 1 ≠ 0$，解得 $x ≠ 1$。
综合以上条件，$x$ 的取值范围为 $x ≥ -\dfrac{1}{2}$ 且 $x ≠ 1$。
11. (★)有下列各式：$ \sqrt{\dfrac{1}{2}} $，$ \sqrt{2x} (x ≥ 0) $，$ \sqrt{x^3} $，$ \sqrt{-5} $，$ \sqrt[3]{5} $，其中二次根式的个数为【 】
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
答案
B
解析
二次根式需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：根指数为2，被开方数$\dfrac{1}{2}＞0$，是二次根式。
$\sqrt{2x}(x≥0)$：根指数为2，被开方数$2x≥0$，是二次根式。
$\sqrt{x^3}$：根指数为2，但当$x＜0$时，$x^3＜0$，不满足被开方数非负，不是二次根式。
$\sqrt{-5}$：被开方数$-5＜0$，不是二次根式。
$\sqrt[3]{5}$：根指数为3，不是二次根式。
综上，二次根式有2个。
$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：根指数为2，被开方数$\dfrac{1}{2}＞0$，是二次根式。
$\sqrt{2x}(x≥0)$：根指数为2，被开方数$2x≥0$，是二次根式。
$\sqrt{x^3}$：根指数为2，但当$x＜0$时，$x^3＜0$，不满足被开方数非负，不是二次根式。
$\sqrt{-5}$：被开方数$-5＜0$，不是二次根式。
$\sqrt[3]{5}$：根指数为3，不是二次根式。
综上，二次根式有2个。
