12. (★★)已知 $ \sqrt{8n} $ 是整数，则正整数 $ n $ 的最小值是【 】

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 0 $

C

首先将$ \sqrt{8n} $进行化简，
$\sqrt{8n} = \sqrt{4 × 2 × n} = 2\sqrt{2n}$，
要使$2\sqrt{2n}$为整数，则$\sqrt{2n}$必须为整数，
设$\sqrt{2n} = k$，其中$k$为整数，
则$2n = k^2$，
$n$为正整数，要使得$k$为整数且$n$最小，则$k$应取最小的正整数使得$2n$为完全平方数，
当$k=2$时，$2n = 4$，则$n=2$，
此时$\sqrt{8n} = 2\sqrt{4} = 4$，满足为整数。
所以正整数$n$的最小值为2。

13. (★★)当 $ x $ 分别取下列值时，求二次根式 $ \sqrt{9 - 8x} $ 的值：
(1) $ x = 0 $；
(2) $ x = \dfrac{1}{2} $；
(3) $ x = -2 $。

(1)
当$x = 0$时，
将$x = 0$代入$\sqrt{9 - 8x}$可得：
$\sqrt{9-8×0}=\sqrt{9} = 3$。
(2)
当$x=\dfrac{1}{2}$时，
把$x = \dfrac{1}{2}$代入$\sqrt{9 - 8x}$得：
$\sqrt{9 - 8×\dfrac{1}{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$。
(3)
当$x = - 2$时，
将$x = - 2$代入$\sqrt{9 - 8x}$得：
$\sqrt{9-8×(-2)}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。

14. (★★)已知 $ a $，$ b $ 为实数，且 $ b = \sqrt{a - 8} - \sqrt{8 - a} + 25 $，则 $ \sqrt[3]{a} + \sqrt{b} $ 的值为【 】

A.$ 10 $
B.$ 9 $
C.$ 8 $
D.$ 7 $

D

要使二次根式有意义，则被开方数非负，所以$a - 8 ≥ 0$且$8 - a ≥ 0$，解得$a = 8$。将$a = 8$代入$b = \sqrt{a - 8} - \sqrt{8 - a} + 25$，得$b = 0 - 0 + 25 = 25$。则$\sqrt[3]{a} + \sqrt{b} = \sqrt[3]{8} + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7$。

15. (★★)要使式子 $ \dfrac{\sqrt{a + 2}}{a} $ 有意义，则 $ a $ 的取值范围是。

$a ≥ -2$ 且 $a ≠ 0$（或填写为 $ [-2, 0) \cup (0, +∞) $ 的区间形式，但按题目要求直接填范围描述）

要使式子 $\dfrac{\sqrt{a + 2}}{a}$ 有意义，需要满足以下条件：
1. 根号内的表达式非负，即 $a + 2 ≥ 0$，解得 $a ≥ -2$。
2. 分母不为零，即 $a ≠ 0$。
综合以上条件，$a$ 的取值范围是 $a ≥ -2$ 且 $a ≠ 0$。

16. (★★)要使二次根式 $ \sqrt{2 - 3x} $ 有意义，则 $ x $ 的最大值是。

$\frac{2}{3}$（或 0.667（3位小数） 等价的填空形式也接受）

要使二次根式$ \sqrt{2 - 3x} $有意义，则被开方数必须大于等于0，即$2 - 3x ≥ 0$，解这个不等式，移项得$-3x ≥ -2$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ≤ \frac{2}{3}$，所以$x$的最大值是$\frac{2}{3}$。

17. (★★)当 $ x $ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $ \sqrt{1 - 2x} $；
(2) $ \sqrt{(x - 5)^2} $；
(3) $ \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}} $；
(4) $ \dfrac{\sqrt{x + 4}}{x - 2} $；
(5) $ \sqrt{\dfrac{1}{x^2 + 1}} $；
(6) $ \sqrt{-\dfrac{3}{2x - 1}} $。

(1)$x ≤ \frac{1}{2}$；(2)全体实数；(3)$x ＞ 1$；(4)$x ≥ -4$且$x ≠ 2$；(5)全体实数；(6)$x ＜ \frac{1}{2}$。

(1)要使$\sqrt{1 - 2x}$有意义，则被开方数须非负，即$1 - 2x ≥ 0$，解得$x ≤ \frac{1}{2}$。
(2)对于$\sqrt{(x - 5)^2}$，因为任何实数的平方都非负，所以$(x - 5)^2 ≥ 0$恒成立，故$x$为全体实数。
(3)要使$\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$有意义，分母不能为零且被开方数须为正，即$x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ 1$。
(4)对于$\frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$，分子中被开方数须非负且分母不能为零，即$\begin{cases}x + 4 ≥ 0 \\ x - 2 ≠ 0\end{cases}$，解得$x ≥ -4$且$x ≠ 2$。
(5)对于$\sqrt{\frac{1}{x^2 + 1}}$，因为$x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，所以$\frac{1}{x^2 + 1} ＞ 0$恒成立，故$x$为全体实数。
(6)要使$\sqrt{-\frac{3}{2x - 1}}$有意义，被开方数须非负，即$-\frac{3}{2x - 1} ≥ 0$，因为$-3 ＜ 0$，所以$2x - 1 ＜ 0$，解得$x ＜ \frac{1}{2}$。

18. (★★★)已知 $ a $，$ b $ 分别为某等腰三角形的两条边长，且 $ a $，$ b $ 满足 $ b = 4 + \sqrt{3a - 6} + 3\sqrt{2 - a} $，求此三角形的周长。

10

1. 由二次根式有意义条件得：$\begin{cases}3a - 6 ≥ 0 \\ 2 - a ≥ 0\end{cases}$
2. 解不等式组：$3a - 6 ≥ 0 ⇒ a ≥ 2$；$2 - a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2$，故$a = 2$
3. 代入$a = 2$求$b$：$b = 4 + \sqrt{3×2 - 6} + 3\sqrt{2 - 2} = 4 + 0 + 0 = 4$
4. 分情况讨论等腰三角形边长：
若腰长为$a = 2$，底边长为$b = 4$，则三边长为$2, 2, 4$。因$2 + 2 = 4$，不满足三角形三边关系，舍去。
若腰长为$b = 4$，底边长为$a = 2$，则三边长为$4, 4, 2$。因$4 + 2 ＞ 4$，$4 + 4 ＞ 2$，满足三角形三边关系。
5. 周长为$4 + 4 + 2 = 10$