1. (★)当 $ a ＞ 0 $ 时，$ \sqrt{a} $ 表示 $ a $ 的，因此 $ \sqrt{a} \_\_\_\_\_ 0 $；当 $ a = 0 $ 时，$ \sqrt{a} $ 表示 $ 0 $ 的算术平方根，因此 $ \sqrt{a} \_\_\_\_\_ 0 $。这就是说，$ \sqrt{a} \_\_\_\_\_ 0 (a ≥ 0) $。

算术平方根；＞；=；≥

当 $ a ＞ 0 $ 时，$\sqrt{a}$ 表示 $ a $ 的算术平方根，算术平方根是非负的，因此 $\sqrt{a} ＞ 0$；当 $ a = 0 $ 时，$\sqrt{a} = \sqrt{0} = 0$，因此 $\sqrt{a} = 0$。综上，$\sqrt{a} ≥ 0 (a ≥ 0)$。

2. (★)根据算术平方根的意义，$\sqrt{5}$是一个________等于5的非负数.因此，$(\sqrt{5})^{2}=5$.同理，$(\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}=$______，$(\sqrt{0.3})^{2}=$______，$(\sqrt{0})^{2}=$______，即$(\sqrt{a})^{2}=$______$(a≥0)$.

1. 首先分析第一个空：
根据算术平方根的定义：若$x^{2}=a(x≥0)$，则$x = \sqrt{a}$，所以$\sqrt{5}$是一个平方等于$5$的非负数。
2. 然后计算$(\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}$：
根据$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，当$a = \frac{1}{2}$时，$(\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}=\frac{1}{2}$。
3. 接着计算$(\sqrt{0.3})^{2}$：
当$a = 0.3$时，$(\sqrt{0.3})^{2}=0.3$。
4. 再计算$(\sqrt{0})^{2}$：
当$a = 0$时，$(\sqrt{0})^{2}=0$。
5. 最后总结$(\sqrt{a})^{2}$：
由以上计算可知$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$。
故答案依次为：平方；$\frac{1}{2}$；$0.3$；$0$；$a$。

根据算术平方根的意义，$\sqrt{5}$是一个平方等于5的非负数。因此，$(\sqrt{5})^2 = 5$。同理，$(\sqrt{\dfrac{1}{2}})^2 = \dfrac{1}{2}$。

3. (★)根据算术平方根的意义，$\sqrt{5^{2}}=$____，$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}}=$____，$\sqrt{0.3^{2}}=$____，$\sqrt{0^{2}}=$____，即$\sqrt{a^{2}}=$____$(a≥0)$。思考：如果上式中的$a$为负实数，那么上式还成立吗？

1. 计算各值：
根据算术平方根的意义：
对于$\sqrt{5^{2}}$，因为$5＞0$，$\sqrt{5^{2}} = 5$；
对于$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}}$，因为$\frac{1}{2}＞0$，$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{2}$；
对于$\sqrt{0.3^{2}}$，因为$0.3＞0$，$\sqrt{0.3^{2}} = 0.3$；
对于$\sqrt{0^{2}}$，$\sqrt{0^{2}} = 0$；
当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}}=a$。
2. 思考$a$为负实数的情况：
当$a＜0$时，设$a=-x$（$x＞0$），则$a^{2}=(-x)^{2}=x^{2}$。
那么$\sqrt{a^{2}}=\sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{x^{2}}$，因为$x＞0$，所以$\sqrt{x^{2}} = x$，而$x=-a$（$a＜0$），即$\sqrt{a^{2}}=-a$（$a＜0$）。
所以$\sqrt{5^{2}} = 5$，$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{2}$，$\sqrt{0.3^{2}} = 0.3$，$\sqrt{0^{2}} = 0$，$\sqrt{a^{2}}=a(a≥0)$；当$a$为负实数时，$\sqrt{a^{2}}=-a$，原等式$\sqrt{a^{2}} = a$不成立。
故答案依次为：$5$；$\frac{1}{2}$；$0.3$；$0$；$a$。

根据算术平方根的意义，$\sqrt{5^2} = 5$。当$a$为负实数时，设$a = -b$（$b ＞ 0$），则$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-b)^2} = \sqrt{b^2} = b = -a$，此时$\sqrt{a^2} = |a|$，而原等式$\sqrt{a^2} = a$（$a≥0$）不成立。

4. (★)计算：
(1) $ (2\sqrt{3})^2 = $；
(2) $ -\sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^2} = $。

(1 ) 12
(2) $-\frac{1}{5}$

(1) 根据积的乘方公式 $(ab)^2 = a^2 · b^2$，
则 $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 · (\sqrt{3})^2 = 4 · 3 = 12$；
(2) 先计算平方运算：$(-\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$，
再计算平方根并取负号：$-\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$。

5. (★)$ \sqrt{x + 2} $ 的最小值是。

0

因为二次根式$\sqrt{a}$（$a≥0$）的最小值为$0$，当$a=0$时取得。在$\sqrt{x + 2}$中，令$x + 2 = 0$，即$x = -2$时，$\sqrt{x + 2} = 0$，所以$\sqrt{x + 2}$的最小值是$0$。

6. (★)当 $ x = $时，式子 $ 2025 - \sqrt{x - 2026} $ 有最大值，且最大值为。

2026；2025

要使式子$2025 - \sqrt{x - 2026}$有最大值，需使$\sqrt{x - 2026}$最小。因为$\sqrt{x - 2026} ≥ 0$，当$\sqrt{x - 2026} = 0$时最小，此时$x - 2026 = 0$，$x = 2026$。最大值为$2025 - 0 = 2025$。

7. (★)把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
(1) $ 5 = $；
(2) $ 3.4 = $；
(3) $ \dfrac{1}{6} = $；
(4) $ x = $$ (x ≥ 0) $。

(1)$(\sqrt{5} )^{2} $；(2)$(\sqrt{3.4} )^{2} $；(3)$(\sqrt{\frac{1}{6} } )^{2} $；(4)$(\sqrt{x} )^{2} $。

(1)要将5写成一个非负数的平方的形式，可以直接利用平方根的定义，找到一个数，其平方等于5，即$\sqrt{5}^2=5$。
(2)要将3.4写成一个非负数的平方的形式，找到一个数，其平方等于3.4，即$\sqrt{3.4}^2 = 3.4$，也可以写成$(\sqrt{\frac{17}{5}} )^2=3.4$，但简化为$\sqrt{3.4}^2 = 3.4$更为直接。
(3)要将$\frac{1}{6}$写成一个非负数的平方的形式，找到一个数，其平方等于$\frac{1}{6}$，即$(\sqrt{\frac{1}{6}} )^2 = \frac{1}{6}$，也可以简化为$(\frac{\sqrt{6}}{6} )^2=\frac{1}{6}$，但前者更为直接。
(4)要将x写成一个非负数的平方的形式，且x非负，可以直接使用x的平方根的平方来表示，但考虑到x本身已经是一个非负数，所以最直接的表示是$(\sqrt{x} )^2 = x$。

8. (★★)在实数范围内分解因式：$ x^2 - 5 = $。

$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$

9. (★)下列计算正确的是【 】

A.$ \sqrt{3^2} = 3 $
B.$ -(\sqrt{2})^2 = 2 $
C.$ \sqrt{(-5)^2} = -5 $
D.$ (\sqrt{5})^2 = -5 $

A

A 选项：根据算术平方根的定义，$\sqrt{3^2}=\sqrt{9} = 3$，该选项计算正确。
B 选项：$-(\sqrt{2})^2=-2≠2$，该选项计算错误。
C 选项：$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25} = 5≠ - 5$，该选项计算错误。
D 选项：$(\sqrt{5})^2 = 5≠ - 5$，该选项计算错误。

10. (★)化简：
(1) $ \sqrt{49} $；
(2) $ \sqrt{(-5)^2} $；
(3) $ -\sqrt{( -\dfrac{1}{3} )^2} $；
(4) $ \sqrt{4 × 10^{-4}} $。

(1) $\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7$；
(2) $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
(3) $-\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}=-\sqrt{\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{1}{3}$；
(4) $\sqrt{4×10^{-4}}=\sqrt{(2×10^{-2})^2}=2×10^{-2}=0.02$。