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10. 若$\frac{1}{y^3}÷ m=\frac{x^2 - xy}{xy^5}$，则$m$为(
A.$\frac{y^2}{y - x}$
B.$\frac{y^2}{x - y}$
C.$\frac{x - y}{y^8}$
D.$\frac{x - y}{y^{15}}$
B
)。A.$\frac{y^2}{y - x}$
B.$\frac{y^2}{x - y}$
C.$\frac{x - y}{y^8}$
D.$\frac{x - y}{y^{15}}$
答案
10. B
11. 化简$\frac{16 - a^2}{a^2 + 4a + 4}÷\frac{a - 4}{2a + 4}·\frac{a + 2}{a + 4}$，其结果是
$-2$
。答案
11. $-2$
12. 下面是小宇计算$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷\frac{x + 1}{x - 1}·\frac{1 - x}{1 + x}$的过程。
解：$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷\frac{x + 1}{x - 1}·\frac{1 - x}{1 + x}$
$=\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷(-1)$ ……… 第一步
$=\frac{(1 - x)(1 + x)}{(x - 1)^2}$ …………… 第二步
$=\frac{1 + x}{1 - x}$。 ………………………… 第三步
上述过程是否有错？若有错，请找出是从第几步开始出错的，并写出正确的计算过程。
解：$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷\frac{x + 1}{x - 1}·\frac{1 - x}{1 + x}$
$=\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷(-1)$ ……… 第一步
$=\frac{(1 - x)(1 + x)}{(x - 1)^2}$ …………… 第二步
$=\frac{1 + x}{1 - x}$。 ………………………… 第三步
上述过程是否有错？若有错，请找出是从第几步开始出错的，并写出正确的计算过程。
答案
12. 解：有错，是从第一步开始出错的。正确的计算过程如下：
$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} · \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}} · \frac{x - 1}{x + 1} · \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 + x}$。
$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} · \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}} · \frac{x - 1}{x + 1} · \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 + x}$。
13. 如图，程老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中的一部分，并提出了如下问题：
(1)求被手遮住部分的代数式。
(2)这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出$x$的值；如果不可能，请说明理由。
(1)求被手遮住部分的代数式。
(2)这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出$x$的值；如果不可能，请说明理由。
答案
13. 解：(1)被手遮住部分的代数式为：
$\frac{x + 3}{x - 3} · \frac{2x + 1}{x + 3} ÷ \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6x + 9} = \frac{2x + 1}{x - 3} · \frac{(x - 3)^{2}}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{2x + 1}{x + 3}$。
(2)这个等式左边代数式的值不可能为零。理由如下：
$\because$等式右边的代数式为$\frac{x + 3}{x - 3}$，要使等式左边代数式的值为零，则$\frac{x + 3}{x - 3} = 0$，
$\therefore x + 3 = 0$，且$x - 3 ≠ 0$，$\therefore x = -3$。
当$x = -3$时，等式左边的分式没有意义，
$\therefore$等式左边代数式的值不可能为零。
$\frac{x + 3}{x - 3} · \frac{2x + 1}{x + 3} ÷ \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6x + 9} = \frac{2x + 1}{x - 3} · \frac{(x - 3)^{2}}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{2x + 1}{x + 3}$。
(2)这个等式左边代数式的值不可能为零。理由如下：
$\because$等式右边的代数式为$\frac{x + 3}{x - 3}$，要使等式左边代数式的值为零，则$\frac{x + 3}{x - 3} = 0$，
$\therefore x + 3 = 0$，且$x - 3 ≠ 0$，$\therefore x = -3$。
当$x = -3$时，等式左边的分式没有意义，
$\therefore$等式左边代数式的值不可能为零。
14. 【数学应用】如图①，“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为$a\ \mathrm{m}(a ＞ 2)$的正方形去掉一个边长为$2\ \mathrm{m}$的正方形蓄水池后余下的部分。如图②，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为$(a - 2)\ \mathrm{m}$的正方形。两块试验田的小麦都收获了$500\ \mathrm{kg}$。
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案
14. 解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是$(a^{2} - 4)$ $m^{2}$，单位面积产量是$\frac{500}{a^{2} - 4}$ $kg$；“丰收2号”小麦的试验田面积是$(a - 2)^{2}$ $m^{2}$，单位面积产量是$\frac{500}{(a - 2)^{2}}$ $kg$。
$\because a ＞ 2$，
$\therefore (a - 2)^{2} ＞ 0$，$a^{2} - 4 ＞ 0$，
$\therefore a^{2} - 4 - (a - 2)^{2} = 4a - 8 ＞ 0$，
$\therefore a^{2} - 4 ＞ (a - 2)^{2}$，
$\therefore \frac{500}{a^{2} - 4} ＜ \frac{500}{(a - 2)^{2}}$。
$\therefore$“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2)$\because \frac{500}{(a - 2)^{2}} ÷ \frac{500}{a^{2} - 4} = \frac{500}{(a - 2)^{2}} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{500} = \frac{a + 2}{a - 2}$，
$\therefore$高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + 2}{a - 2}$倍。
$\because a ＞ 2$，
$\therefore (a - 2)^{2} ＞ 0$，$a^{2} - 4 ＞ 0$，
$\therefore a^{2} - 4 - (a - 2)^{2} = 4a - 8 ＞ 0$，
$\therefore a^{2} - 4 ＞ (a - 2)^{2}$，
$\therefore \frac{500}{a^{2} - 4} ＜ \frac{500}{(a - 2)^{2}}$。
$\therefore$“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2)$\because \frac{500}{(a - 2)^{2}} ÷ \frac{500}{a^{2} - 4} = \frac{500}{(a - 2)^{2}} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{500} = \frac{a + 2}{a - 2}$，
$\therefore$高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + 2}{a - 2}$倍。
