例 如图，E 是正方形 ABCD 外一点，且 $ AB = AE $，连接 BE. 作 $ AF ⊥ BE $，垂足为 F，连接 DE 交 AF 于点 G.

(1) 求 $ ∠ AGD $ 的度数.
(2) 若 $ EG = 2 $，$ DG = 6 $，则正方形 ABCD 的边长是.
分析：(1) 根据 $ 2 ∠ EAF = ∠ BAE $ 和三角形的内角和是 $ 180° $，求出 $ ∠ AGD $ 的度数.
(2) 过点 A 作 $ AM ⊥ DE $，垂足为 M，得到 $ △ AGM $ 为等腰直角三角形，求出 $ AM = 2 $，又 $ MD = 4 $，根据勾股定理得到答案.
解：(1) $ \because AB = AE = AD $，
$ \therefore ∠ AED = ∠ ADE $.
$ \because AF ⊥ BE $，$ \therefore ∠ EAF = ∠ BAF $.
$ \therefore 2 ∠ EAF = ∠ BAE $.
又 $ \because ∠ AED + ∠ ADE + ∠ EAB = 180° - ∠ BAD = 180° - 90° = 90° $，
$ \therefore ∠ AGD = ∠ AED + ∠ EAF = \frac{1}{2} (∠ AED + ∠ ADE + ∠ EAB) = 45° $.
(2) 如图，过点 A 作 $ AM ⊥ DE $，垂足为 M，则 $ △ AGM $ 为等腰直角三角形.
$ \because EM = \frac{1}{2} ED = \frac{1}{2} × (2 + 6) = 4 $，
$ \therefore GM = 2 $，则 $ AM = 2 $.
又 $ \because MD = 4 $，由勾股定理得 $ AD = 2 \sqrt{5} $，
$ \therefore $ 正方形 ABCD 的边长为 $ 2 \sqrt{5} $. 故填 $ 2 \sqrt{5} $.

解：(1) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\because AB=AE$，
$\therefore AB=AE=AD$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ADE$，
$\because AF ⊥ BE$，$AB=AE$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ BAF$，即$2∠ EAF = ∠ BAE$，
$\because ∠ AED + ∠ ADE + ∠ EAD = 180°$，$∠ EAD = ∠ BAE + ∠ BAD = ∠ BAE + 90°$，
$\therefore ∠ AED + ∠ ADE + ∠ BAE + 90° = 180°$，
$\therefore ∠ AED + ∠ ADE + ∠ BAE = 90°$，
$\therefore ∠ AGD = ∠ AED + ∠ EAF = \frac{1}{2}(∠ AED + ∠ ADE + ∠ BAE) = 45°$；
(2) 过点$A$作$AM ⊥ DE$于点$M$，
$\because ∠ AGD=45°$，$∠ AMG=90°$，
$\therefore △ AGM$是等腰直角三角形，$\therefore AM=GM$，
$\because AB=AE$，$AM ⊥ DE$，
$\therefore EM=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2} × (2+6)=4$，
$\because EG=2$，
$\therefore GM=EM-EG=4-2=2$，
$\therefore AM=2$，
$\because MD=ED-EM=8-4=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AMD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AM^2+MD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
故正方形$ABCD$的边长是$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$。