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2.（2024·广东）某水果批发商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100t.据市场反馈，如果每吨降价1万元，那么每天销售量相应增加50t.该水果批发商如何定价才能使每天的利润最大？并求出最大利润.
答案
设每吨荔枝的售价为$ x $万元，每天的利润为$ y $万元。
1. 确定销售量与售价的关系：
当售价为5万元时，销售量为100吨；每吨降价1万元，销售量增加50吨。设售价为$ x $万元，则降价金额为$ (5 - x) $万元，销售量为$ 100 + 50(5 - x) = 350 - 50x $吨。
2. 利润函数表达式：
每吨利润为$ (x - 2) $万元，销售量为$ (350 - 50x) $吨，故利润$ y = (x - 2)(350 - 50x) $。
展开得：$ y = -50x^2 + 450x - 700 $。
3. 求最大利润：
二次函数$ y = -50x^2 + 450x - 700 $中，$ a = -50 ＜ 0 $，函数开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{450}{2 × (-50)} = 4.5 $。
当$ x = 4.5 $时，利润最大，最大利润为：
$ y = -50(4.5)^2 + 450 × 4.5 - 700 = 312.5 $万元。
结论：定价为每吨4.5万元时，每天利润最大，最大利润为312.5万元。
1. 确定销售量与售价的关系：
当售价为5万元时，销售量为100吨；每吨降价1万元，销售量增加50吨。设售价为$ x $万元，则降价金额为$ (5 - x) $万元，销售量为$ 100 + 50(5 - x) = 350 - 50x $吨。
2. 利润函数表达式：
每吨利润为$ (x - 2) $万元，销售量为$ (350 - 50x) $吨，故利润$ y = (x - 2)(350 - 50x) $。
展开得：$ y = -50x^2 + 450x - 700 $。
3. 求最大利润：
二次函数$ y = -50x^2 + 450x - 700 $中，$ a = -50 ＜ 0 $，函数开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{450}{2 × (-50)} = 4.5 $。
当$ x = 4.5 $时，利润最大，最大利润为：
$ y = -50(4.5)^2 + 450 × 4.5 - 700 = 312.5 $万元。
结论：定价为每吨4.5万元时，每天利润最大，最大利润为312.5万元。
