2. 如图 21.1 - 3，在四边形$ABCD$中，$∠A + ∠C = 180°$，$∠ADE$是四边形$ABCD$的一个外角. 若$∠B = 75°$，则$∠ADE$的度数为()


A.$125°$
B.$105°$
C.$90°$
D.$75°$

2. D

【解析】
因为四边形内角和为$360°$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ ADC = 360°$，又因为$∠ A+∠ C = 180°$，$∠ B = 75°$，所以$∠ ADC=360°-(∠ A+∠ C)-∠ B = 360°-180°-75°=105°$。
因为$∠ ADE$与$∠ ADC$互为邻补角，所以$∠ ADE = 180°-∠ ADC = 180°-105°=75°$。
【答案】
D
【知识点】
四边形内角和、邻补角
【点评】
本题考查四边形内角和与邻补角的知识，通过四边形内角和求出$∠ ADC$，再利用邻补角关系求出$∠ ADE$，思路清晰。
【难度系数】
0.6

3. 学校大门口的伸缩门利用的是四边形的.

3. 不稳定性

【解析】
四边形具有不稳定性，伸缩门可以伸缩，正是利用了四边形的这一特性。
【答案】
不稳定性
【知识点】
四边形的特性
【点评】
本题考查四边形特性的实际应用，较为基础。
【难度系数】
0.9

【例】如图 21.1 - 4，四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3分别为∠A，∠B，∠C的外角，则下列正确的是()

【点拨】根据四边形的内角和与外角和都是$360°$，及邻补角定义解决问题.

A.$∠1 + ∠3 = ∠ABC + ∠D$
B.$∠1 + ∠3 ＜ ∠ABC + ∠D$
C.$∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°$
D.$∠1 + ∠2 + ∠3 ＞ 360°$

【例】A 解析：$∠1 + ∠3 = 180° - ∠BAD + 180°- ∠BCD = 360° - (∠BAD + ∠BCD) = ∠ABC + ∠D$，$∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° - (180° - ∠D) = 180° + ∠D$。故选 A。

【解析】
因为$∠1 = 180°-∠ BAD$，$∠3 = 180°-∠ BCD$，所以$∠1+∠3 = 180°-∠ BAD + 180°-∠ BCD = 360°-(∠ BAD+∠ BCD)$。
又因为四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD+∠ BCD+∠ ABC+∠ D = 360°$，所以$∠ BAD+∠ BCD = 360°-(∠ ABC+∠ D)$。
则$∠1+∠3 = 360°-(360°-(∠ ABC+∠ D))=∠ ABC+∠ D$。
对于$∠1+∠2+∠3$，$∠2 = 180°-∠ ABC$，所以$∠1+∠2+∠3 = 180°-∠ BAD+180°-∠ ABC + 180°-∠ BCD = 540°-(∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD)$。
由四边形内角和$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ D = 360°$，可得$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD = 360°-∠ D$，则$∠1+∠2+∠3 = 540°-(360°-∠ D)=180°+∠ D$。
【答案】
A
【知识点】
四边形内角和、邻补角、角度计算
【点评】
本题通过利用邻补角关系和四边形内角和定理，对角度进行转化和计算，考查学生对相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.3

1. 在四边形$ABCD$中，$∠A$与$∠C$互补，$∠B = 120°$，则$∠D =$()

A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$

1. A

【解析】
因为四边形内角和为$360°$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D = 360°$。
又因为$∠ A$与$∠ C$互补，所以$∠ A+∠ C=180°$。
已知$∠ B = 120°$，将$∠ A+∠ C = 180°$，$∠ B = 120°$代入$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D = 360°$中，可得$180°+120°+∠ D = 360°$。
则$∠ D=360°-180°-120°=60°$。
【答案】
A
【知识点】
四边形内角和、互补角
【点评】
本题考查四边形内角和以及互补角的概念，通过已知条件建立等式求解$∠ D$，思路清晰，计算简单。
【难度系数】
0.7

2. 四边形具有不稳定性，从数学角度看，其不稳定性主要体现在()

A.内角可发生变化
B.边长发生变化
C.周长发生变化
D.内角和发生变化

2. A

【解析】
根据四边形的不稳定性的定义进行分析。四边形的不稳定性是指四边形的形状可以改变，而边长和周长是由边的长度决定的，在形状改变时边长和周长不一定改变；多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$（$n$为边数），四边形内角和是固定的$(4 - 2)×180°=360°$，不会发生变化；而四边形形状改变时内角可发生变化。所以四边形具有不稳定性，从数学角度看，其不稳定性主要体现在内角可发生变化。
【答案】
A
【知识点】
四边形的不稳定性、多边形内角和
【点评】
本题考查四边形不稳定性的概念，通过对四边形不稳定性相关性质的理解来判断选项。
【难度系数】
0.6

3. 如图所示，在四边形$ABCD$中，$AD ⊥ AB$，$∠C = 110°$，它的一个外角$∠ADE = 60°$，则$∠B$的大小是.

3. $40°$

【解析】
因为$∠ ADE = 60°$，所以$∠ ADC = 180°-∠ ADE = 180°-60°=120°$。
又因为$AD⊥ AB$，所以$∠ A = 90°$。
根据四边形内角和为$360°$，可得$∠ B = 360°-∠ A-∠ C-∠ ADC = 360°-90°-110°-120°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
四边形内角和、邻补角、垂直的性质
【点评】
本题通过邻补角求出$∠ ADC$，再利用四边形内角和及垂直性质求出$∠ B$，考查了相关知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6

4. 已知四边形$ABCD$中，$∠A = ∠D = 90°$，$∠B = 2∠C$，则$∠B$的度数为.

4. $120°$

【解析】
因为四边形内角和为$360°$，已知$∠ A = ∠ D = 90°$，所以$∠ B+∠ C=360°-90°-90°=180°$。
又因为$∠ B = 2∠ C$，把$∠ B = 2∠ C$代入$∠ B+∠ C=180°$，可得$2∠ C+∠ C=180°$，即$3∠ C=180°$，解得$∠ C = 60°$。
那么$∠ B=2×60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
四边形内角和、角度计算
【点评】
本题考查四边形内角和的应用，通过已知角的关系建立方程求解，思路清晰。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠A = 90°$. 小华用剪刀沿$DE$剪去$∠A$，得到一个四边形. 则$∠1 + ∠2$的度数为.

5. $270°$

【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ A = 90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B+∠ C=180°-∠ A = 180°-90°=90°$。
在四边形$BCED$中，根据四边形内角和为$360°$，则$∠ 1+∠ 2 = 360°-(∠ B+∠ C)=360°-90°=270°$。
【答案】
$270°$
【知识点】
三角形内角和、四边形内角和
【点评】
本题考查三角形内角和与四边形内角和的综合运用，通过将所求角转化为四边形内角和与三角形内角和的差来求解。
【难度系数】
0.3

6. 如图，四边形$ABCD$中，$∠A = ∠C = 90°$，$BE$平分$∠ABC$交$CD$于点$E$，$DF$平分$∠ADC$交$AB$于点$F$.
(1) 若$∠ADC = 130°$，则$∠CBE$的度数为.
(2) 探索猜想$DF$与$BE$的位置关系，并说明理由.

6. 解：(1)
∵ 四边形 ABCD 的内角和为 $360°$，即 $∠A + ∠ABC + ∠C + ∠ADC = 360°$。
∵ $∠A = ∠C = 90°$，$∠ADC = 130°$，
∴ $∠ABC = 360° - ∠A - ∠C - ∠ADC = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°$。
∵ BE 平分 $∠ABC$，
∴ $∠CBE =\frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}×50° = 25°$。
(2) $DF // BE$，理由如下：在四边形 ABCD 中，$∠A = ∠C = 90°$，
∴ $∠ABC + ∠ADC = 360° - 90° - 90° = 180°$。
∵ BE 平分 $∠ABC$，DF 平分 $∠ADC$，
∴ $∠ABE = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠ADF = \frac{1}{2}∠ADC$，
∴ $∠ABE + ∠ADF = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ADC) = \frac{1}{2}×180° = 90°$。
∵ 在 $Rt△ADF$ 中，$∠ADF + ∠AFD = 90°$，
∴ $∠AFD = ∠ABE$，
∴ $DF // BE$。

【解析】
(1)
∵ 四边形$ABCD$的内角和为$360°$，即$∠ A+∠ ABC+∠ C+∠ ADC = 360°$。
∵ $∠ A=∠ C = 90°$，$∠ ADC = 130°$，
∴ $∠ ABC=360°-∠ A-∠ C-∠ ADC = 360°-90°-90°-130°=50°$。
∵ $BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2)
$DF// BE$，理由如下：
在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ C = 90°$，
∴ $∠ ABC+∠ ADC=360°-90°-90°=180°$。
∵ $BE$平分$∠ ABC$，$DF$平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADF=\frac{1}{2}∠ ADC$，
∴ $∠ ABE+∠ ADF=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ADC)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵ 在$Rt△ ADF$中，$∠ ADF+∠ AFD = 90°$，
∴ $∠ AFD=∠ ABE$，
∴ $DF// BE$。
【答案】
(1)$25°$；(2)$DF// BE$
【知识点】
四边形内角和、角平分线的性质、平行线的判定
【点评】
本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质以及平行线的判定，解题的关键是熟练运用相关知识进行推理计算。
【难度系数】
0.6