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3. (1)【归纳与发现】
① 填空：$12 = 3×4$,$1 + 2 = 3×1$；$69 = 3×$______,$6 + 9 = 3×$______.
② 填空：$312 = 3×104$,$3 + 1 + 2 = 3×2$；$504 = 3×$______,$5 + 0 + 4 = 3×$______.
(2)【验证与说理】
① 试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除(是3的整数倍)；
② 设$\overline{abcd}$是一个四位数($a$,$b$,$c$,$d$分别为其千位、百位、十位、个位上的数字),若$a + b + c + d$可以被3整除,试说明$\overline{abcd}$可以被3整除.
① 填空：$12 = 3×4$,$1 + 2 = 3×1$；$69 = 3×$______,$6 + 9 = 3×$______.
② 填空：$312 = 3×104$,$3 + 1 + 2 = 3×2$；$504 = 3×$______,$5 + 0 + 4 = 3×$______.
(2)【验证与说理】
① 试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除(是3的整数倍)；
② 设$\overline{abcd}$是一个四位数($a$,$b$,$c$,$d$分别为其千位、百位、十位、个位上的数字),若$a + b + c + d$可以被3整除,试说明$\overline{abcd}$可以被3整除.
答案
3.解:
(1)①23 5 ②168 3
(2)①$2325 = 2×1000 + 3×100 + 2×10 + 5×1$
$= 2×(999 + 1) + 3×(99 + 1) + 2×(9 + 1) + 5$
$= 2×999 + 2 + 3×99 + 3 + 2×9 + 2 + 5$
$= (2×999 + 3×99 + 2×9) + (2 + 3 + 2 + 5)$
$= 3(2×333 + 3×33 + 2×3) + 3×4$,
因为$2×333 + 3×33 + 2×3$为整数，4为整数，
所以2325可以被3整除.
因为$2 + 3 + 2 + 5 = 12 = 3×4$，所以$3×4$能被3整除，
所以2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除.
②$\overline {abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
$= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d$
$= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d$
$= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)$
$= 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d)$,
因为$a$，$b$，$c$，$d$为整数，
所以$333a + 33b + 3c$是整数.
所以$3×(333a + 33b + 3c)$能被3整除.
所以若$a + b + c + d$能被3整除，则$\overline {abcd}$可以被3整除.
(1)①23 5 ②168 3
(2)①$2325 = 2×1000 + 3×100 + 2×10 + 5×1$
$= 2×(999 + 1) + 3×(99 + 1) + 2×(9 + 1) + 5$
$= 2×999 + 2 + 3×99 + 3 + 2×9 + 2 + 5$
$= (2×999 + 3×99 + 2×9) + (2 + 3 + 2 + 5)$
$= 3(2×333 + 3×33 + 2×3) + 3×4$,
因为$2×333 + 3×33 + 2×3$为整数，4为整数，
所以2325可以被3整除.
因为$2 + 3 + 2 + 5 = 12 = 3×4$，所以$3×4$能被3整除，
所以2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除.
②$\overline {abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
$= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d$
$= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d$
$= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)$
$= 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d)$,
因为$a$，$b$，$c$，$d$为整数，
所以$333a + 33b + 3c$是整数.
所以$3×(333a + 33b + 3c)$能被3整除.
所以若$a + b + c + d$能被3整除，则$\overline {abcd}$可以被3整除.
解析
【分析】
首先解决(1)的填空问题：① 求69是3乘多少，直接用除法计算$69÷3$即可；求$6+9$的和是3乘多少，先算加法和再除以3即可。② 同理，用$504÷3$得到第一个空，先算$5+0+4$的和再除以3得到第二个空。
再解决(2)的说理问题：要证明一个数能被3整除，可将数按数位拆分，利用$10=9+1$、$100=99+1$、$1000=999+1$的特点，而9、99、999都是3的倍数，因此拆分后整个数可分为“肯定能被3整除的整式”和“各数位数字之和”两部分，只要数位和能被3整除，整个数就能被3整除。① 按上述方法拆分2325验证即可；② 把字母表示的四位数按同样方法拆分，结合已知条件即可完成证明。
【解析】
(1)① 计算：$69÷3=23$，$6+9=15$，$15÷3=5$，故依次填23、5；
② 计算：$504÷3=168$，$5+0+4=9$，$9÷3=3$，故依次填168、3；
(2)① 拆分2325：
$\begin{aligned}2325 &= 2×1000 + 3×100 + 2×10 + 5×1\\&= 2×(999 + 1) + 3×(99 + 1) + 2×(9 + 1) + 5\\&= 2×999 + 2 + 3×99 + 3 + 2×9 + 2 + 5\\&= (2×999 + 3×99 + 2×9) + (2 + 3 + 2 + 5)\\&= 3(2×333 + 3×33 + 2×3) + 3×4\end{aligned}$
因为$2×333 + 3×33 + 2×3$和4都是整数，所以$3(2×333 + 3×33 + 2×3)$和$3×4$都能被3整除，因此2325能被3整除；
又$2+3+2+5=12=3×4$，所以各数位和也能被3整除，即2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除。
② 拆分四位数$\overline{abcd}$：
$\begin{aligned}\overline{abcd} &= 1000a + 100b + 10c + d\\&= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d\\&= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d\\&= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)\\&= 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d)\end{aligned}$
因为$a,b,c,d$为整数，所以$333a + 33b + 3c$是整数，因此$3(333a + 33b + 3c)$能被3整除；若$a+b+c+d$能被3整除，则$\overline{abcd}$为两个3的倍数的和，因此$\overline{abcd}$可以被3整除。
【答案】
(1)①$\boxed{23}$，$\boxed{5}$；②$\boxed{168}$，$\boxed{3}$
(2)①2325及其各数位数字之和都可以被3整除，理由见解析；②若$a+b+c+d$可以被3整除，则$\overline{abcd}$可以被3整除，理由见解析。
【知识点】
1. 能被3整除的数的特征
2. 整数拆分
3. 代数式变形
【点评】
本题从具体数值计算出发，引导学生自主归纳规律，再通过代数推导验证结论，兼顾基础计算能力和逻辑推理能力的考查，掌握本题推导思路可以深刻理解能被3整除的数的判定方法，便于后续快速判断数的整除性。
【难度系数】
0.7
首先解决(1)的填空问题：① 求69是3乘多少，直接用除法计算$69÷3$即可；求$6+9$的和是3乘多少，先算加法和再除以3即可。② 同理，用$504÷3$得到第一个空，先算$5+0+4$的和再除以3得到第二个空。
再解决(2)的说理问题：要证明一个数能被3整除，可将数按数位拆分，利用$10=9+1$、$100=99+1$、$1000=999+1$的特点，而9、99、999都是3的倍数，因此拆分后整个数可分为“肯定能被3整除的整式”和“各数位数字之和”两部分，只要数位和能被3整除，整个数就能被3整除。① 按上述方法拆分2325验证即可；② 把字母表示的四位数按同样方法拆分，结合已知条件即可完成证明。
【解析】
(1)① 计算：$69÷3=23$，$6+9=15$，$15÷3=5$，故依次填23、5；
② 计算：$504÷3=168$，$5+0+4=9$，$9÷3=3$，故依次填168、3；
(2)① 拆分2325：
$\begin{aligned}2325 &= 2×1000 + 3×100 + 2×10 + 5×1\\&= 2×(999 + 1) + 3×(99 + 1) + 2×(9 + 1) + 5\\&= 2×999 + 2 + 3×99 + 3 + 2×9 + 2 + 5\\&= (2×999 + 3×99 + 2×9) + (2 + 3 + 2 + 5)\\&= 3(2×333 + 3×33 + 2×3) + 3×4\end{aligned}$
因为$2×333 + 3×33 + 2×3$和4都是整数，所以$3(2×333 + 3×33 + 2×3)$和$3×4$都能被3整除，因此2325能被3整除；
又$2+3+2+5=12=3×4$，所以各数位和也能被3整除，即2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除。
② 拆分四位数$\overline{abcd}$：
$\begin{aligned}\overline{abcd} &= 1000a + 100b + 10c + d\\&= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d\\&= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d\\&= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)\\&= 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d)\end{aligned}$
因为$a,b,c,d$为整数，所以$333a + 33b + 3c$是整数，因此$3(333a + 33b + 3c)$能被3整除；若$a+b+c+d$能被3整除，则$\overline{abcd}$为两个3的倍数的和，因此$\overline{abcd}$可以被3整除。
【答案】
(1)①$\boxed{23}$，$\boxed{5}$；②$\boxed{168}$，$\boxed{3}$
(2)①2325及其各数位数字之和都可以被3整除，理由见解析；②若$a+b+c+d$可以被3整除，则$\overline{abcd}$可以被3整除，理由见解析。
【知识点】
1. 能被3整除的数的特征
2. 整数拆分
3. 代数式变形
【点评】
本题从具体数值计算出发，引导学生自主归纳规律，再通过代数推导验证结论，兼顾基础计算能力和逻辑推理能力的考查，掌握本题推导思路可以深刻理解能被3整除的数的判定方法，便于后续快速判断数的整除性。
【难度系数】
0.7
被3,9整除
(1) 能被3或9整除的数,其各位数字和能被3或9整除；
(2) 一个数被3或9除得的余数,就是其各位数字相加后被3或9除得的余数.
(1) 能被3或9整除的数,其各位数字和能被3或9整除；
(2) 一个数被3或9除得的余数,就是其各位数字相加后被3或9除得的余数.
答案
答题卡作答：
(1)设一个数为$A = \overline{a_{n}a_{n - 1}\cdots a_{1}a_{0}}$，其中$a_{i}$为数字，且$A = a_{n} × 10^{n} + a_{n - 1} × 10^{n - 1} + \cdots + a_{1} × 10 + a_{0}$。
因为$10^{k}(k = 0,1,2,\cdots,n)$，除$10^{0}=1$外，其余$10^{k}$均可表示为$9× M+1$（$M$为正整数）的形式，即$10^{k}$被$3$或$9$除余$1$。
所以$A=a_{n}(9M_{n}+1)+a_{n - 1}(9M_{n - 1}+1)+\cdots + a_{1}(9M_{1}+1)+a_{0}$
$=9(a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+\cdots + a_{1}M_{1})+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
设$N=a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+\cdots + a_{1}M_{1}$，则$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
若$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}$能被$3$或$9$整除，设$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}=3k$（或$9k$），$k$为整数，则$A = 9N + 3k=3(3N + k)$（或$A=9(N + k)$），所以$A$能被$3$（或$9$）整除。
(2)由(1)知$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
设$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}=9q + r$，其中$q$为整数，$r$为余数，$0\leq r\lt9$。
则$A = 9N+9q + r=9(N + q)+r$，所以一个数被$3$或$9$除得的余数，就是其各位数字相加后被$3$或$9$除得的余数。
综上，结论成立。
(1)设一个数为$A = \overline{a_{n}a_{n - 1}\cdots a_{1}a_{0}}$，其中$a_{i}$为数字，且$A = a_{n} × 10^{n} + a_{n - 1} × 10^{n - 1} + \cdots + a_{1} × 10 + a_{0}$。
因为$10^{k}(k = 0,1,2,\cdots,n)$，除$10^{0}=1$外，其余$10^{k}$均可表示为$9× M+1$（$M$为正整数）的形式，即$10^{k}$被$3$或$9$除余$1$。
所以$A=a_{n}(9M_{n}+1)+a_{n - 1}(9M_{n - 1}+1)+\cdots + a_{1}(9M_{1}+1)+a_{0}$
$=9(a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+\cdots + a_{1}M_{1})+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
设$N=a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+\cdots + a_{1}M_{1}$，则$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
若$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}$能被$3$或$9$整除，设$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}=3k$（或$9k$），$k$为整数，则$A = 9N + 3k=3(3N + k)$（或$A=9(N + k)$），所以$A$能被$3$（或$9$）整除。
(2)由(1)知$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
设$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}=9q + r$，其中$q$为整数，$r$为余数，$0\leq r\lt9$。
则$A = 9N+9q + r=9(N + q)+r$，所以一个数被$3$或$9$除得的余数，就是其各位数字相加后被$3$或$9$除得的余数。
综上，结论成立。
解析
【分析】
要证明这两个与3、9整除相关的结论，可按以下思路推导：首先，对于任意多位数，我们可以用位值原理将其展开为各数位数字乘对应10的幂次的和；其次，观察可知10、100、1000……等10的正整数次幂除以3或9时余数都为1，因此可将$10^k$（k为正整数）写成“9的倍数+1”的形式；最后把展开式变形，分离出一定能被3、9整除的部分，剩余部分恰好是各位数字的和，即可建立整个数的整除性、余数与各位数字和的对应关系，完成证明。
【解析】
(1)设一个数为$A = \overline{a_{n}a_{n - 1}··· a_{1}a_{0}}$，其中$a_{i}$为0到9的数字，且$A = a_{n} × 10^{n} + a_{n - 1} × 10^{n - 1} + ··· + a_{1} × 10 + a_{0}$。
因为$10^{k}(k = 0,1,2,···,n)$中，除$10^{0}=1$外，其余$10^{k}$均可表示为$9× M+1$（$M$为正整数）的形式，即$10^{k}$被$3$或$9$除余$1$。
所以$A=a_{n}(9M_{n}+1)+a_{n - 1}(9M_{n - 1}+1)+··· + a_{1}(9M_{1}+1)+a_{0}$
$=9(a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+··· + a_{1}M_{1})+(a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0})$。
设$N=a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+··· + a_{1}M_{1}$，则$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0})$。
若$a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0}$能被$3$或$9$整除，设$a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0}=3k$（或$9k$），$k$为整数，则$A = 9N + 3k=3(3N + k)$（或$A=9(N + k)$），所以$A$能被$3$（或$9$）整除。
(2)由(1)知$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0})$。
设$a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0}=9q + r$，其中$q$为整数，$r$为余数，$0≤ r＜9$。
则$A = 9N+9q + r=9(N + q)+r$，所以一个数被$3$或$9$除得的余数，就是其各位数字相加后被$3$或$9$除得的余数。
综上，题中两个结论均成立。
【答案】
(1)能被3或9整除的数，其各位数字和能被3或9整除；
(2)一个数被3或9除得的余数，就是其各位数字相加后被3或9除得的余数。两个结论均成立。
【知识点】
位值原理，整除的性质，带余除法
【点评】
本题从本质上推导了能被3、9整除的数的特征，帮助理解结论的由来，避免机械记忆，掌握该推导方法后可举一反三，探究其他数的整除特征，有助于提升代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明这两个与3、9整除相关的结论，可按以下思路推导：首先，对于任意多位数，我们可以用位值原理将其展开为各数位数字乘对应10的幂次的和；其次，观察可知10、100、1000……等10的正整数次幂除以3或9时余数都为1，因此可将$10^k$（k为正整数）写成“9的倍数+1”的形式；最后把展开式变形，分离出一定能被3、9整除的部分，剩余部分恰好是各位数字的和，即可建立整个数的整除性、余数与各位数字和的对应关系，完成证明。
【解析】
(1)设一个数为$A = \overline{a_{n}a_{n - 1}··· a_{1}a_{0}}$，其中$a_{i}$为0到9的数字，且$A = a_{n} × 10^{n} + a_{n - 1} × 10^{n - 1} + ··· + a_{1} × 10 + a_{0}$。
因为$10^{k}(k = 0,1,2,···,n)$中，除$10^{0}=1$外，其余$10^{k}$均可表示为$9× M+1$（$M$为正整数）的形式，即$10^{k}$被$3$或$9$除余$1$。
所以$A=a_{n}(9M_{n}+1)+a_{n - 1}(9M_{n - 1}+1)+··· + a_{1}(9M_{1}+1)+a_{0}$
$=9(a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+··· + a_{1}M_{1})+(a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0})$。
设$N=a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+··· + a_{1}M_{1}$，则$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0})$。
若$a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0}$能被$3$或$9$整除，设$a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0}=3k$（或$9k$），$k$为整数，则$A = 9N + 3k=3(3N + k)$（或$A=9(N + k)$），所以$A$能被$3$（或$9$）整除。
(2)由(1)知$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0})$。
设$a_{n}+a_{n - 1}+··· + a_{1}+a_{0}=9q + r$，其中$q$为整数，$r$为余数，$0≤ r＜9$。
则$A = 9N+9q + r=9(N + q)+r$，所以一个数被$3$或$9$除得的余数，就是其各位数字相加后被$3$或$9$除得的余数。
综上，题中两个结论均成立。
【答案】
(1)能被3或9整除的数，其各位数字和能被3或9整除；
(2)一个数被3或9除得的余数，就是其各位数字相加后被3或9除得的余数。两个结论均成立。
【知识点】
位值原理，整除的性质，带余除法
【点评】
本题从本质上推导了能被3、9整除的数的特征，帮助理解结论的由来，避免机械记忆，掌握该推导方法后可举一反三，探究其他数的整除特征，有助于提升代数变形能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 定义：对于一个多位自然数$a$,若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1,我们称自然数$a$是“格调数”. 例如12,123,1234等都是“格调数”. 根据数的特点,我们可以发现,最小的“格调数”是12,最大的“格调数”是123456789. 如果一个“格调数”有七位,第一位上的数字最大只能是3,这样的“格调数”是3456789. 已知四位“格调数”$m和n$,若$m - n = 2222$,且$m$能被3整除,则$m$的值为______.
答案
4.3 456或6 789
解析
【分析】
首先明确四位“格调数”的特征：首位设为k时，后三位依次为k+1、k+2、k+3，且k是正整数，末位k+3≤9，因此k的取值范围是1≤k≤6。先把四位格调数用含首位k的代数式表示，再结合m-n=2222的条件，可推导出m和n的首位差为2；最后利用能被3整除的数的特征（各数位数字和是3的倍数），筛选出符合条件的首位数值，即可求出m的值。
【解析】
设四位“格调数”的首位数字为k，则该四位格调数可表示为：
$1000k + 100(k+1) + 10(k+2) + (k+3) = 1111k + 123$，其中k为正整数，且$k+3≤9$，即$1≤k≤6$。
设m的首位为a，n的首位为b（a、b均符合上述取值要求），则$m=1111a+123$，$n=1111b+123$。
由$m-n=2222$代入得：
$\begin{aligned}(1111a+123)-(1111b+123)&=2222\\1111(a-b)&=2222\\a-b&=2\end{aligned}$
即a比b大2，因此$a≥1+2=3$。
又因为m能被3整除，其各数位数字和为$a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=4a+6$，需为3的倍数。由于6是3的倍数，因此4a需为3的倍数，又4和3互质，故a是3的倍数。
结合$3≤a≤6$，a的取值为3或6：
当a=3时，$m=3456$；
当a=6时，$m=6789$。
【答案】
3456或6789
【知识点】
新定义问题，3的倍数特征，代数式表示数
【点评】
本题结合新定义考查数的性质应用，解题核心是将新定义的特殊数用代数式规范表达，再结合已知条件逐步筛选符合要求的数值，解题时要注意首位的取值范围限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先明确四位“格调数”的特征：首位设为k时，后三位依次为k+1、k+2、k+3，且k是正整数，末位k+3≤9，因此k的取值范围是1≤k≤6。先把四位格调数用含首位k的代数式表示，再结合m-n=2222的条件，可推导出m和n的首位差为2；最后利用能被3整除的数的特征（各数位数字和是3的倍数），筛选出符合条件的首位数值，即可求出m的值。
【解析】
设四位“格调数”的首位数字为k，则该四位格调数可表示为：
$1000k + 100(k+1) + 10(k+2) + (k+3) = 1111k + 123$，其中k为正整数，且$k+3≤9$，即$1≤k≤6$。
设m的首位为a，n的首位为b（a、b均符合上述取值要求），则$m=1111a+123$，$n=1111b+123$。
由$m-n=2222$代入得：
$\begin{aligned}(1111a+123)-(1111b+123)&=2222\\1111(a-b)&=2222\\a-b&=2\end{aligned}$
即a比b大2，因此$a≥1+2=3$。
又因为m能被3整除，其各数位数字和为$a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=4a+6$，需为3的倍数。由于6是3的倍数，因此4a需为3的倍数，又4和3互质，故a是3的倍数。
结合$3≤a≤6$，a的取值为3或6：
当a=3时，$m=3456$；
当a=6时，$m=6789$。
【答案】
3456或6789
【知识点】
新定义问题，3的倍数特征，代数式表示数
【点评】
本题结合新定义考查数的性质应用，解题核心是将新定义的特殊数用代数式规范表达，再结合已知条件逐步筛选符合要求的数值，解题时要注意首位的取值范围限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
