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8. 如图10-2-22所示，在维修“中国天眼”时，为避免压坏反射面板，利用一个氦气球及配重，使维修工人对反射面的压力减小到100N，成为“微重力蜘蛛人”。若维修工人重700N，与反射面的接触面积为$1000\ \mathrm{cm}^{2}$，气球未充入气体时重1300N，充入氦气后的体积约为$200\ \mathrm{m}^{3}$，忽略人及配重所受的浮力，当维修工人在反射面底部工作时，其对反射面的压强为
1000
Pa；所充氦气以及配重所受的总重力为700
N。(g取$10\ \mathrm{N/kg}$，$\rho_{\mathrm{空气}}=1.3\ \mathrm{kg/m}^{3}$)答案
8. 1 000 700 【解析】维修工人对反射面的压强$p=\frac{F}{S}=\frac{100\ \mathrm{N}}{0.1\ \mathrm{m}^{2}}=1\ 000\ \mathrm{Pa}$。氦气球受到的浮力$F_{浮}=\rho_{空气}gV_{排}=1.3\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×200\ \mathrm{m}^{3}=2\ 600\ \mathrm{N}$；因支持力与压力为一对相互作用力，则反射面对维修工人的支持力$F_{支}=F_{压}=100\ \mathrm{N}$，将气球(含充入的氦气)、人和配重作为一个整体，$G_{总}=F_{浮}+F_{支}=2\ 600\ \mathrm{N}+100\ \mathrm{N}=2\ 700\ \mathrm{N}$，则所充氦气以及配重所受的总重力$G_{1}=G_{总}-G_{球}-G_{人}=2\ 700\ \mathrm{N}-1\ 300\ \mathrm{N}-700\ \mathrm{N}=700\ \mathrm{N}$。
解析
【分析】
第一问求工人对反射面的压强，已知压力和接触面积，先将接触面积单位换算为平方米，再利用压强公式$p=\frac{F}{S}$计算即可。第二问求氦气及配重的总重力，先根据阿基米德原理算出氦气球受到的浮力，再把气球（含氦气）、工人和配重作为整体分析受力，整体受力平衡，总重力等于向上的浮力与支持力之和（支持力等于工人对反射面的压力），最后用总重力减去气球本身重力和工人重力，就能得到氦气及配重的总重力。
【解析】
1. 计算维修工人对反射面的压强：
接触面积$S=1000\ \mathrm{cm}^{2}=0.1\ \mathrm{m}^{2}$，已知工人对反射面的压力$F=100\ \mathrm{N}$，根据压强公式：
$p=\frac{F}{S}=\frac{100\ \mathrm{N}}{0.1\ \mathrm{m}^{2}}=1000\ \mathrm{Pa}$。
2. 计算氦气球受到的浮力：
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{空气}gV_{排}$，代入数据$\rho_{空气}=1.3\ \mathrm{kg/m}^{3}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，$V_{排}=200\ \mathrm{m}^{3}$，可得：
$F_{浮}=1.3\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×200\ \mathrm{m}^{3}=2600\ \mathrm{N}$。
3. 分析整体受力，计算总重力：
反射面对维修工人的支持力$F_{支}$与工人对反射面的压力$F_{压}$是相互作用力，故$F_{支}=F_{压}=100\ \mathrm{N}$。
将气球（含氦气）、人和配重作为整体，受力平衡，总重力$G_{总}=F_{浮}+F_{支}=2600\ \mathrm{N}+100\ \mathrm{N}=2700\ \mathrm{N}$。
4. 计算氦气及配重的总重力：
已知气球重力$G_{球}=1300\ \mathrm{N}$，工人重力$G_{人}=700\ \mathrm{N}$，则：
$G_{1}=G_{总}-G_{球}-G_{人}=2700\ \mathrm{N}-1300\ \mathrm{N}-700\ \mathrm{N}=700\ \mathrm{N}$。
【答案】
1000；700
【知识点】
压强的计算；阿基米德原理；受力平衡分析
【点评】
本题综合考查压强公式、阿基米德原理的应用及受力平衡分析，解题关键是利用整体法简化受力分析过程，理清各力之间的关系。
【难度系数】
0.6
第一问求工人对反射面的压强，已知压力和接触面积，先将接触面积单位换算为平方米，再利用压强公式$p=\frac{F}{S}$计算即可。第二问求氦气及配重的总重力，先根据阿基米德原理算出氦气球受到的浮力，再把气球（含氦气）、工人和配重作为整体分析受力，整体受力平衡，总重力等于向上的浮力与支持力之和（支持力等于工人对反射面的压力），最后用总重力减去气球本身重力和工人重力，就能得到氦气及配重的总重力。
【解析】
1. 计算维修工人对反射面的压强：
接触面积$S=1000\ \mathrm{cm}^{2}=0.1\ \mathrm{m}^{2}$，已知工人对反射面的压力$F=100\ \mathrm{N}$，根据压强公式：
$p=\frac{F}{S}=\frac{100\ \mathrm{N}}{0.1\ \mathrm{m}^{2}}=1000\ \mathrm{Pa}$。
2. 计算氦气球受到的浮力：
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{空气}gV_{排}$，代入数据$\rho_{空气}=1.3\ \mathrm{kg/m}^{3}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，$V_{排}=200\ \mathrm{m}^{3}$，可得：
$F_{浮}=1.3\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}×200\ \mathrm{m}^{3}=2600\ \mathrm{N}$。
3. 分析整体受力，计算总重力：
反射面对维修工人的支持力$F_{支}$与工人对反射面的压力$F_{压}$是相互作用力，故$F_{支}=F_{压}=100\ \mathrm{N}$。
将气球（含氦气）、人和配重作为整体，受力平衡，总重力$G_{总}=F_{浮}+F_{支}=2600\ \mathrm{N}+100\ \mathrm{N}=2700\ \mathrm{N}$。
4. 计算氦气及配重的总重力：
已知气球重力$G_{球}=1300\ \mathrm{N}$，工人重力$G_{人}=700\ \mathrm{N}$，则：
$G_{1}=G_{总}-G_{球}-G_{人}=2700\ \mathrm{N}-1300\ \mathrm{N}-700\ \mathrm{N}=700\ \mathrm{N}$。
【答案】
1000；700
【知识点】
压强的计算；阿基米德原理；受力平衡分析
【点评】
本题综合考查压强公式、阿基米德原理的应用及受力平衡分析，解题关键是利用整体法简化受力分析过程，理清各力之间的关系。
【难度系数】
0.6
9. 放在水平面上装满水的一个溢水杯，水深为20cm，弹簧测力计挂着重为10N的物块。现将物块浸没在装满水的溢水杯中，如图10-2-23所示，静止后溢出水的质量为0.4kg。g取$10\ \mathrm{N/kg}$。求：
（1）弹簧测力计的示数；
（2）物块的密度。
（1）弹簧测力计的示数；
（2）物块的密度。
答案
9. (1)6 N；(2)$2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。 【解析】(1)$F_{浮}=G_{排}=m_{排}g=0.4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=4\ \mathrm{N}$；弹簧测力计的示数$F=G-F_{浮}=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$。(2)物块的体积$V=V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{液}g}=\frac{4\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，物块的质量$m=\frac{G}{g}=\frac{10\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1\ \mathrm{kg}$，物块的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：
1. 对于弹簧测力计的示数，根据称重法测浮力的原理，弹簧测力计的示数等于物块的重力减去物块受到的浮力。而浮力可以利用阿基米德原理计算，已知溢出水的质量，先通过$G_{排}=m_{排}g$算出排开水的重力，也就是浮力，再代入称重公式计算示数。
2. 对于物块的密度，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，需要先求出物块的质量和体积。物块的质量可通过$m=\frac{G}{g}$计算；因为物块浸没在水中，物块的体积等于排开水的体积，排开水的体积可利用阿基米德原理的变形公式$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}$求出，最后代入密度公式计算即可。
【解析】
(1) 根据阿基米德原理，物块受到的浮力等于排开水的重力：
$F_{浮}=G_{排}=m_{排}g=0.4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=4\ \mathrm{N}$
再根据称重法测浮力，弹簧测力计的示数：
$F=G-F_{浮}=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$
(2) 由于物块浸没在水中，物块的体积等于排开水的体积：
$V=V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{4\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$
物块的质量：
$m=\frac{G}{g}=\frac{10\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1\ \mathrm{kg}$
则物块的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\ \mathrm{N}}$；(2) $\boldsymbol{2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}$
【知识点】
阿基米德原理；称重法测浮力；密度的计算
【点评】
本题是浮力与密度的综合计算题，考查了阿基米德原理、称重法测浮力以及密度公式的应用，属于基础题型，需要熟练掌握相关公式的推导与应用，理清各物理量之间的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分两步思考：
1. 对于弹簧测力计的示数，根据称重法测浮力的原理，弹簧测力计的示数等于物块的重力减去物块受到的浮力。而浮力可以利用阿基米德原理计算，已知溢出水的质量，先通过$G_{排}=m_{排}g$算出排开水的重力，也就是浮力，再代入称重公式计算示数。
2. 对于物块的密度，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，需要先求出物块的质量和体积。物块的质量可通过$m=\frac{G}{g}$计算；因为物块浸没在水中，物块的体积等于排开水的体积，排开水的体积可利用阿基米德原理的变形公式$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}$求出，最后代入密度公式计算即可。
【解析】
(1) 根据阿基米德原理，物块受到的浮力等于排开水的重力：
$F_{浮}=G_{排}=m_{排}g=0.4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=4\ \mathrm{N}$
再根据称重法测浮力，弹簧测力计的示数：
$F=G-F_{浮}=10\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=6\ \mathrm{N}$
(2) 由于物块浸没在水中，物块的体积等于排开水的体积：
$V=V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{4\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$
物块的质量：
$m=\frac{G}{g}=\frac{10\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1\ \mathrm{kg}$
则物块的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}}=2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\ \mathrm{N}}$；(2) $\boldsymbol{2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}}$
【知识点】
阿基米德原理；称重法测浮力；密度的计算
【点评】
本题是浮力与密度的综合计算题，考查了阿基米德原理、称重法测浮力以及密度公式的应用，属于基础题型，需要熟练掌握相关公式的推导与应用，理清各物理量之间的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
10. （2024，南开区期末）小明同学想要测量某种液体的密度，使用了实验室的弹簧测力计、细线、水（水的密度为$\rho_{0}$）、烧杯、小金属块，请你帮助小明设计一个实验方案。
（1）写出主要的实验步骤和需要测量的物理量；
（2）写出液体密度$\rho_{\mathrm{液}}$的数学表达式（用已知量和测量量表示）。
（1）写出主要的实验步骤和需要测量的物理量；
（2）写出液体密度$\rho_{\mathrm{液}}$的数学表达式（用已知量和测量量表示）。
答案
10. (1)实验步骤：①将弹簧测力计调零，用细线系住金属块，测出金属块所受的重力$G$；②用弹簧测力计将金属块浸没在水中，不碰触容器，测出此时的拉力$F_{1}$；③用弹簧测力计将金属块浸没在未知液体中，不碰触容器，测出此时的拉力$F_{2}$。(2)$\rho_{液}=\frac{G-F_{2}}{G-F_{1}}\rho_{0}$
解析
【分析】
要测量未知液体的密度，在缺少天平的情况下，可借助浮力相关知识解决。首先利用称重法结合阿基米德原理求出小金属块的体积：先测金属块重力$G$，再将其浸没在水中测拉力$F_1$，由称重法得水中浮力$F_{浮水}=G-F_1$，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，且浸没时$V_{排}=V_{金}$，可推导出金属块体积$V_{金}=\frac{G-F_1}{\rho_0g}$。接着将金属块浸没在未知液体中测拉力$F_2$，同理得液体中浮力$F_{浮液}=G-F_2$，再结合阿基米德原理代入金属块体积，即可推导出未知液体的密度表达式。
【解析】
（1）实验步骤：
① 将弹簧测力计调零，用细线系住小金属块，用弹簧测力计测出小金属块的重力，记为$G$；
② 向烧杯中加入适量的水，将小金属块浸没在水中（不接触烧杯底部和侧壁），读出弹簧测力计的示数，记为$F_{1}$；
③ 向烧杯中换入适量的未知液体，将小金属块浸没在未知液体中（不接触烧杯底部和侧壁），读出弹簧测力计的示数，记为$F_{2}$。
（2）密度表达式推导：
由称重法测浮力可知，金属块在水中受到的浮力：$F_{浮水}=G-F_{1}$，
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，且金属块浸没在水中时$V_{排}=V_{金}$，可得：
$G-F_{1}=\rho_{0}gV_{金}$，则金属块的体积$V_{金}=\frac{G-F_{1}}{\rho_{0}g}$；
金属块在未知液体中受到的浮力：$F_{浮液}=G-F_{2}$，
同理，根据阿基米德原理有：$G-F_{2}=\rho_{液}gV_{金}$，
将$V_{金}=\frac{G-F_{1}}{\rho_{0}g}$代入上式，可得：
$G-F_{2}=\rho_{液}g×\frac{G-F_{1}}{\rho_{0}g}$，
化简后得到未知液体的密度：$\rho_{液}=\frac{G-F_{2}}{G-F_{1}}\rho_{0}$。
【答案】
(1)实验步骤：①将弹簧测力计调零，用细线系住金属块，测出金属块所受的重力$G$；②用弹簧测力计将金属块浸没在水中，不碰触容器，测出此时的拉力$F_{1}$；③用弹簧测力计将金属块浸没在未知液体中，不碰触容器，测出此时的拉力$F_{2}$。
(2)$\rho_{液}=\frac{G-F_{2}}{G-F_{1}}\rho_{0}$
【知识点】
称重法测浮力、阿基米德原理、密度计算
【点评】
本实验采用转换法，将液体密度测量转化为力的测量，器材简便易操作。重点考查称重法与阿基米德原理的综合应用，要求学生具备知识整合与逻辑推导能力，实现力学知识与密度测量的结合。
【难度系数】
0.6
要测量未知液体的密度，在缺少天平的情况下，可借助浮力相关知识解决。首先利用称重法结合阿基米德原理求出小金属块的体积：先测金属块重力$G$，再将其浸没在水中测拉力$F_1$，由称重法得水中浮力$F_{浮水}=G-F_1$，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，且浸没时$V_{排}=V_{金}$，可推导出金属块体积$V_{金}=\frac{G-F_1}{\rho_0g}$。接着将金属块浸没在未知液体中测拉力$F_2$，同理得液体中浮力$F_{浮液}=G-F_2$，再结合阿基米德原理代入金属块体积，即可推导出未知液体的密度表达式。
【解析】
（1）实验步骤：
① 将弹簧测力计调零，用细线系住小金属块，用弹簧测力计测出小金属块的重力，记为$G$；
② 向烧杯中加入适量的水，将小金属块浸没在水中（不接触烧杯底部和侧壁），读出弹簧测力计的示数，记为$F_{1}$；
③ 向烧杯中换入适量的未知液体，将小金属块浸没在未知液体中（不接触烧杯底部和侧壁），读出弹簧测力计的示数，记为$F_{2}$。
（2）密度表达式推导：
由称重法测浮力可知，金属块在水中受到的浮力：$F_{浮水}=G-F_{1}$，
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，且金属块浸没在水中时$V_{排}=V_{金}$，可得：
$G-F_{1}=\rho_{0}gV_{金}$，则金属块的体积$V_{金}=\frac{G-F_{1}}{\rho_{0}g}$；
金属块在未知液体中受到的浮力：$F_{浮液}=G-F_{2}$，
同理，根据阿基米德原理有：$G-F_{2}=\rho_{液}gV_{金}$，
将$V_{金}=\frac{G-F_{1}}{\rho_{0}g}$代入上式，可得：
$G-F_{2}=\rho_{液}g×\frac{G-F_{1}}{\rho_{0}g}$，
化简后得到未知液体的密度：$\rho_{液}=\frac{G-F_{2}}{G-F_{1}}\rho_{0}$。
【答案】
(1)实验步骤：①将弹簧测力计调零，用细线系住金属块，测出金属块所受的重力$G$；②用弹簧测力计将金属块浸没在水中，不碰触容器，测出此时的拉力$F_{1}$；③用弹簧测力计将金属块浸没在未知液体中，不碰触容器，测出此时的拉力$F_{2}$。
(2)$\rho_{液}=\frac{G-F_{2}}{G-F_{1}}\rho_{0}$
【知识点】
称重法测浮力、阿基米德原理、密度计算
【点评】
本实验采用转换法，将液体密度测量转化为力的测量，器材简便易操作。重点考查称重法与阿基米德原理的综合应用，要求学生具备知识整合与逻辑推导能力，实现力学知识与密度测量的结合。
【难度系数】
0.6
