登录
21. (★★)点$P(-4,a)$沿$y$轴正方向平移$2$个单位长度得到点$(b,3)$，则点$M(a - b,\frac{a}{b})$在第象限。
答案
因为点$P(-4,a)$沿$y$轴正方向平移$2$个单位长度，根据平移规律，沿$y$轴正方向平移，横坐标不变，纵坐标加$2$，所以平移后点的坐标为$(-4,a + 2)$。
又因为平移后得到点$(b,3)$，所以可得$b=-4$，$a + 2=3$，解得$a=1$。
则$a - b=1 - (-4)=5$，$\frac{a}{b}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$，所以点$M$的坐标为$(5,-\frac{1}{4})$。
因为点$M$的横坐标为正，纵坐标为负，所以点$M$在第四象限。
四
又因为平移后得到点$(b,3)$，所以可得$b=-4$，$a + 2=3$，解得$a=1$。
则$a - b=1 - (-4)=5$，$\frac{a}{b}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$，所以点$M$的坐标为$(5,-\frac{1}{4})$。
因为点$M$的横坐标为正，纵坐标为负，所以点$M$在第四象限。
四
22. (★★)如图，已知点$A,B,C$的坐标分别为$(-2,3),(-4,-1),(2,0)$，且三角形$ABC$中任意一点$P(x_{0},y_{0})$经过平移后对应点的坐标为$P_{1}(x_{0}+4,y_{0}+3)$。
(1)将三角形$ABC$作同样的平移得到三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$，请在图中画出三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$，并直接写出点$A_{1},B_{1},C_{1}$的坐标；
(2)在(1)的条件下求三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$的面积。
(1)将三角形$ABC$作同样的平移得到三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$，请在图中画出三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$，并直接写出点$A_{1},B_{1},C_{1}$的坐标；
(2)在(1)的条件下求三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$的面积。
答案
(1) 根据题意，平移向量为 $(4, 3)$，即每点的坐标变化为 $x_1 = x_0 + 4$，$y_1 = y_0 + 3$。
点 $A(-2, 3)$ 平移后得到 $A_1(2, 6)$，
点 $B(-4, -1)$ 平移后得到 $B_1(0, 2)$，
点 $C(2, 0)$ 平移后得到 $C_1(6, 3)$。
在图中标出 $A_1(2, 6)$，$B_1(0, 2)$，$C_1(6, 3)$，并连接成三角形 $A_1B_1C_1$。
(2) 三角形 $ABC$ 的面积与三角形 $A_1B_1C_1$ 的面积相同（平移不改变面积）。
三角形 $ABC$ 的面积可以通过顶点坐标计算：
$S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$
代入 $A(-2, 3)$，$B(-4, -1)$，$C(2, 0)$：
$S = \frac{1}{2} \left| -2(-1 - 0) + (-4)(0 - 3) + 2(3 - (-1)) \right|$
$S = \frac{1}{2} \left| -2 × (-1) + (-4) × (-3) + 2 × 4 \right|$
$S = \frac{1}{2} \left| 2 + 12 + 8 \right| = \frac{1}{2} × 22 = 11 \mathrm{（平方单位）}$
所以三角形 $A_1B_1C_1$ 的面积为 $11$ 平方单位。
点 $A(-2, 3)$ 平移后得到 $A_1(2, 6)$，
点 $B(-4, -1)$ 平移后得到 $B_1(0, 2)$，
点 $C(2, 0)$ 平移后得到 $C_1(6, 3)$。
在图中标出 $A_1(2, 6)$，$B_1(0, 2)$，$C_1(6, 3)$，并连接成三角形 $A_1B_1C_1$。
(2) 三角形 $ABC$ 的面积与三角形 $A_1B_1C_1$ 的面积相同（平移不改变面积）。
三角形 $ABC$ 的面积可以通过顶点坐标计算：
$S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$
代入 $A(-2, 3)$，$B(-4, -1)$，$C(2, 0)$：
$S = \frac{1}{2} \left| -2(-1 - 0) + (-4)(0 - 3) + 2(3 - (-1)) \right|$
$S = \frac{1}{2} \left| -2 × (-1) + (-4) × (-3) + 2 × 4 \right|$
$S = \frac{1}{2} \left| 2 + 12 + 8 \right| = \frac{1}{2} × 22 = 11 \mathrm{（平方单位）}$
所以三角形 $A_1B_1C_1$ 的面积为 $11$ 平方单位。
23. (★★)如图，点$A,B,C,D,E,F,G$均在单位正方形网格的格点(小正方形的顶点)上，建立平面直角坐标系，使得$A,B$的坐标分别为$(-2,0)$和$(1,2)$。
(1)在图中画出该平面直角坐标系。
(2)指出点$C,D,E,F,G$所在的象限或坐标轴。
(3)平移四边形$BEFG$，使得点$E$与点$C$重合，得到四边形$CF'G'B'$(点$F,G,B$的对应点分别为点$F',G',B'$)，画出四边形$CF'G'B'$，并写出点$C,F',G',B'$的坐标。
(1)在图中画出该平面直角坐标系。
(2)指出点$C,D,E,F,G$所在的象限或坐标轴。
(3)平移四边形$BEFG$，使得点$E$与点$C$重合，得到四边形$CF'G'B'$(点$F,G,B$的对应点分别为点$F',G',B'$)，画出四边形$CF'G'B'$，并写出点$C,F',G',B'$的坐标。
答案
1. （1）
已知$A(-2,0)$，$B(1,2)$。先确定原点$O$：因为$A$点坐标为$(-2,0)$，所以$A$在$x$轴上，从$A$点向右移动$2$个单位长度得到原点$O(0,0)$，然后根据$x$轴正方向向右，$y$轴正方向向上建立平面直角坐标系。
2. （2）
根据建立好的平面直角坐标系：
点$C$的坐标为$(-1,4)$，在第二象限；
点$D$的坐标为$(-4,3)$，在第二象限；
点$E$的坐标为$(2,1)$，在第一象限；
点$F$的坐标为$(4,2)$，在第一象限；
点$G$的坐标为$(3,4)$，在第一象限。
3. （3）
解：
点$E(2,1)$平移到$C(-1,4)$，横坐标的变化为$-1 - 2=-3$，纵坐标的变化为$4 - 1 = 3$。
对于点$F(4,2)$，平移后$F'$的坐标：横坐标$4+( - 3)=1$，纵坐标$2 + 3=5$，即$F'(1,5)$；
对于点$G(3,4)$，平移后$G'$的坐标：横坐标$3+( - 3)=0$，纵坐标$4 + 3=7$，即$G'(0,7)$；
对于点$B(1,2)$，平移后$B'$的坐标：横坐标$1+( - 3)=-2$，纵坐标$2 + 3=5$，即$B'(-2,5)$；
点$C$的坐标为$(-1,4)$。
所以$C(-1,4)$，$F'(1,5)$，$G'(0,7)$，$B'(-2,5)$。
已知$A(-2,0)$，$B(1,2)$。先确定原点$O$：因为$A$点坐标为$(-2,0)$，所以$A$在$x$轴上，从$A$点向右移动$2$个单位长度得到原点$O(0,0)$，然后根据$x$轴正方向向右，$y$轴正方向向上建立平面直角坐标系。
2. （2）
根据建立好的平面直角坐标系：
点$C$的坐标为$(-1,4)$，在第二象限；
点$D$的坐标为$(-4,3)$，在第二象限；
点$E$的坐标为$(2,1)$，在第一象限；
点$F$的坐标为$(4,2)$，在第一象限；
点$G$的坐标为$(3,4)$，在第一象限。
3. （3）
解：
点$E(2,1)$平移到$C(-1,4)$，横坐标的变化为$-1 - 2=-3$，纵坐标的变化为$4 - 1 = 3$。
对于点$F(4,2)$，平移后$F'$的坐标：横坐标$4+( - 3)=1$，纵坐标$2 + 3=5$，即$F'(1,5)$；
对于点$G(3,4)$，平移后$G'$的坐标：横坐标$3+( - 3)=0$，纵坐标$4 + 3=7$，即$G'(0,7)$；
对于点$B(1,2)$，平移后$B'$的坐标：横坐标$1+( - 3)=-2$，纵坐标$2 + 3=5$，即$B'(-2,5)$；
点$C$的坐标为$(-1,4)$。
所以$C(-1,4)$，$F'(1,5)$，$G'(0,7)$，$B'(-2,5)$。
