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1. 图3-2-20是两个旋转对称图形，其中，图 $ \textcircled{1} $是由正三角形ACE绕其对称中心旋转 $ 1 8 0° $后得到的 $ △ D F B $与 $ △ A C E $构成的；图 $ \textcircled{2} $是由四个全等的正三角形拼成的（拼接时不重叠且没有空隙）。点O分别是它们的旋转对称中心。将这两个图形绕点O旋转一定角度后与原图形重合，则旋转角 $ α $的最小值分别为 $ \textcircled{1} $___ $ ° $， $ \textcircled{2} $___ $ ° $。 
答案
1.60;120
2. 数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：
如图3-2-21 $ \textcircled{1} $ ，在 $ △ ABC $中，若 AB=5，AC=3，求 BC边上的中线 AD长度的取值范围。请写出你的解决方法。
迁移应用：请参考你的解题方法，证明下列命题：
如图3-2-21 $ \textcircled{2} $ ，在 $ △ ABC $中，D是BC边上的中点，DE $ \bot $ DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。
(1) 求证： $ B E+C F＞E F; $
(2) 若 $ ∠ A=90° $探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明。
如图3-2-21 $ \textcircled{1} $ ，在 $ △ ABC $中，若 AB=5，AC=3，求 BC边上的中线 AD长度的取值范围。请写出你的解决方法。
迁移应用：请参考你的解题方法，证明下列命题：
如图3-2-21 $ \textcircled{2} $ ，在 $ △ ABC $中，D是BC边上的中点，DE $ \bot $ DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。
(1) 求证： $ B E+C F＞E F; $
(2) 若 $ ∠ A=90° $探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明。
答案
2.解决方法:解:如答图3-2-6①,将$△ ACD$绕点D逆时针旋转$180°$得到$△ EBD$。
在$△ ABE$中，利用三角形的三边关系可得$2＜ AE＜8$，则$1＜ AD＜4$。
迁移应用:(1)证明:如答图3-2-6②，把$△ CFD$绕点D逆时针旋转$180°$得到$△ BGD$，连接EG。
$\therefore CF=BG$，$DF=DG$。
$\because DE⊥ DF$，
$\therefore EF=EG$。
在$△ BEG$中，$BE+BG＞EG$，即$BE+CF＞EF$。
(2)解:$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
证明:$\because∠ A=90°$，
$\therefore∠ EBC+∠ FCB=90°$。
由(1)知$∠ FCD=∠ DBG$，$EF=EG$，
$\therefore∠ EBC+∠ DBG=90°$，即$∠ EBG=90°$。
$\therefore BE^{2}+BG^{2}=EG^{2}$。
$\therefore BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
3. 【阅读理解】我们把一个图形绕着某一个点旋转 $ 1 8 0° $ ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形。我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称。在平面直角坐标系中，任意两点 $ P ( x_{1}, y_{1} ) $ ， $ Q ( x_{2}, y_{2} ) $的对称中心的坐标为 $ ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} ) 。 $
【观察应用】（1）如图3-2-22，在平面直角坐标系中，若点 $ P_{1} $ （0，-1）， $ P_{2} $ （2，3）的对称中心是点 A，则点 A的坐标为 ___。
(2) 另取两点 $ B(-1. 6, 2. 1), C(-1, 0) $ 。有一电子青蛙从点 $ P_{1} $处开始依次关于点 A， B， C做循环对称跳动，即第一次跳到点 $ P_{1} $关于点 A的对称点 $ P_{2} $处，接着跳到点 $ P_{2} $关于点 B的对称点 $ P_{3} $处，第三次再跳到点 $ P_{3} $关于点 C的对称点 $ P_{4} $处，第四次再跳到点 $ P_{4} $关于点 A的对称点 $ P_{5} $处...则点 $ P_{3}, P_{8} $的坐标分别为 ___。
【拓展延伸】（3）求出点 $ P_{2000} $的坐标，并求出在 x轴上与点 $ P_{2000} $，C的连线构成等腰三角形的点的坐标。
【观察应用】（1）如图3-2-22，在平面直角坐标系中，若点 $ P_{1} $ （0，-1）， $ P_{2} $ （2，3）的对称中心是点 A，则点 A的坐标为 ___。
(2) 另取两点 $ B(-1. 6, 2. 1), C(-1, 0) $ 。有一电子青蛙从点 $ P_{1} $处开始依次关于点 A， B， C做循环对称跳动，即第一次跳到点 $ P_{1} $关于点 A的对称点 $ P_{2} $处，接着跳到点 $ P_{2} $关于点 B的对称点 $ P_{3} $处，第三次再跳到点 $ P_{3} $关于点 C的对称点 $ P_{4} $处，第四次再跳到点 $ P_{4} $关于点 A的对称点 $ P_{5} $处...则点 $ P_{3}, P_{8} $的坐标分别为 ___。
【拓展延伸】（3）求出点 $ P_{2000} $的坐标，并求出在 x轴上与点 $ P_{2000} $，C的连线构成等腰三角形的点的坐标。
答案
3.解:(1)$(1,1)$
(2)$(-5.2,1.2)$，$(2,3)$
(3)观察$P_{1}(0,-1)$，$P_{2}(2,3)$，$P_{3}(-5.2,1.2)$，$P_{4}(3.2,-1.2)$，$P_{5}(-1.2,3.2)$，$P_{6}(-2,1)$，$P_{7}(0,-1)$，$P_{8}(2,3)$，可知$P_{7}$的坐标与$P_{1}$的坐标相同，$P_{8}$的坐标与$P_{2}$的坐标相同，即坐标以6为周期循环。$\because2000÷6=333······2$，$\therefore P_{2000}$的坐标和$P_{2}$的坐标相同，即为$(2,3)$，则在x轴上与点$P_{2000}$，C的连线构成等腰三角形的点的坐标为$(-3\sqrt{2}-1,0)$，$(2,0)$，$(3\sqrt{2}-1,0)$，$(5,0)$。
(2)$(-5.2,1.2)$，$(2,3)$
(3)观察$P_{1}(0,-1)$，$P_{2}(2,3)$，$P_{3}(-5.2,1.2)$，$P_{4}(3.2,-1.2)$，$P_{5}(-1.2,3.2)$，$P_{6}(-2,1)$，$P_{7}(0,-1)$，$P_{8}(2,3)$，可知$P_{7}$的坐标与$P_{1}$的坐标相同，$P_{8}$的坐标与$P_{2}$的坐标相同，即坐标以6为周期循环。$\because2000÷6=333······2$，$\therefore P_{2000}$的坐标和$P_{2}$的坐标相同，即为$(2,3)$，则在x轴上与点$P_{2000}$，C的连线构成等腰三角形的点的坐标为$(-3\sqrt{2}-1,0)$，$(2,0)$，$(3\sqrt{2}-1,0)$，$(5,0)$。
