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12. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = AC = 10$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $M$ 在线段 $AC$ 上，且 $AM = 3$，$P$ 为线段 $BD$ 上的一个动点，则 $MP + \frac{1}{2}PB$ 的最小值是
$ \dfrac{7\sqrt{3}}{2} $
。答案
12. $ \dfrac{7\sqrt{3}}{2} $
13. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$E$ 为边 $AB$ 上一点，$F$ 为边 $BC$ 上一点. 连接 $DE$ 和 $AF$ 交于点 $G$，连接 $BG$。若 $AE = BF$，则 $BG$ 的最小值为
$ \sqrt{5}-1 $
。答案
13. $ \sqrt{5}-1 $
14. 如图，点 $B$，$E$，$F$，$D$ 在同一条直线上，$BE = DF$，$AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，$AD// BC$，$AE// FC$。
(1) 求证：$AC$ 与 $BD$ 互相平分；
(2) 若 $AE⊥ AC$，$AE = BE$，$BD = 16$，$EF = 10$，求 $AC$ 的长。
(1) 求证：$AC$ 与 $BD$ 互相平分；
(2) 若 $AE⊥ AC$，$AE = BE$，$BD = 16$，$EF = 10$，求 $AC$ 的长。
答案
14. (1) 证明: 如图, 连接 $ AB $, $ CD $, $ \because BE = DF $, $ \therefore BF = DE $. $ \because AD // BC $, $ \therefore ∠ ADE = ∠ CBF $. $ \because AE // FC $, $ \therefore ∠ AED = ∠ CFB $, $ \therefore △ ADE ≌ △ CBF (ASA) $, $ \therefore AD = CB $. $ \because AD // BC $, $ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形, $ \therefore AC $ 与 $ BD $ 互相平分.
(2) 解: $ \because AC $ 与 $ BD $ 互相平分, $ \therefore OA = OC $, $ OB = OD = \dfrac{1}{2}BD = 8 $. $ \because BE = DF $, $ \therefore OE = OF = \dfrac{1}{2}EF = 5 $, $ \therefore AE = BE = 3 $. $ \because AE ⊥ AC $, $ \therefore $ 根据勾股定理, 得 $ AO = \sqrt{OE^{2}-AE^{2}} = 4 $, $ \therefore AC = 2AO = 8 $.
15. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$BD$ 平分 $∠ ABC$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2) 连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，延长 $BC$ 到点 $E$，在 $∠ DCE$ 的内部作射线 $CM$，使得 $∠ ECM = 15^{\circ}$，过点 $D$ 作 $DF⊥ CM$ 于点 $F$。若 $∠ ABC = 70^{\circ}$，$DF = \sqrt{5}$，求 $∠ ACD$ 的度数及 $BD$ 的长。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2) 连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，延长 $BC$ 到点 $E$，在 $∠ DCE$ 的内部作射线 $CM$，使得 $∠ ECM = 15^{\circ}$，过点 $D$ 作 $DF⊥ CM$ 于点 $F$。若 $∠ ABC = 70^{\circ}$，$DF = \sqrt{5}$，求 $∠ ACD$ 的度数及 $BD$ 的长。
答案
15. (1) 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形, $ \therefore AB // CD $, $ \therefore ∠ ABD = ∠ BDC $. $ \because BD $ 平分 $ ∠ ABC $, $ \therefore ∠ ABD = ∠ DBC $, $ \therefore ∠ BDC = ∠ DBC $, $ \therefore BC = CD $, $ \therefore □ ABCD $ 是菱形.
(2) 解: 由 (1) 可知, 四边形 $ ABCD $ 是菱形, $ \therefore BO = DO $, $ ∠ DCA = ∠ BCA = \dfrac{1}{2}∠ BCD $, $ AC ⊥ BD $, $ AB // CD $, $ \therefore ∠ BCD = 180^{\circ}-∠ ABC = 180^{\circ}-70^{\circ} = 110^{\circ} $, $ ∠ DCE = ∠ ABC = 70^{\circ} $, $ \therefore ∠ DCA = \dfrac{1}{2}∠ BCD = 55^{\circ} $. $ \because ∠ ECM = 15^{\circ} $, $ \therefore ∠ DCM = ∠ DCE - ∠ ECM = 70^{\circ}-15^{\circ} = 55^{\circ} $, $ \therefore ∠ DCA = ∠ DCM $. $ \because DF ⊥ CM $, $ BD ⊥ AC $, $ \therefore DO = DF = \sqrt{5} $, $ \therefore BD = 2DO = 2\sqrt{5} $.
(2) 解: 由 (1) 可知, 四边形 $ ABCD $ 是菱形, $ \therefore BO = DO $, $ ∠ DCA = ∠ BCA = \dfrac{1}{2}∠ BCD $, $ AC ⊥ BD $, $ AB // CD $, $ \therefore ∠ BCD = 180^{\circ}-∠ ABC = 180^{\circ}-70^{\circ} = 110^{\circ} $, $ ∠ DCE = ∠ ABC = 70^{\circ} $, $ \therefore ∠ DCA = \dfrac{1}{2}∠ BCD = 55^{\circ} $. $ \because ∠ ECM = 15^{\circ} $, $ \therefore ∠ DCM = ∠ DCE - ∠ ECM = 70^{\circ}-15^{\circ} = 55^{\circ} $, $ \therefore ∠ DCA = ∠ DCM $. $ \because DF ⊥ CM $, $ BD ⊥ AC $, $ \therefore DO = DF = \sqrt{5} $, $ \therefore BD = 2DO = 2\sqrt{5} $.
