4. 如图，在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ H $ 分别为 $ AB $，$ DC $ 的中点，$ F $，$ G $ 为 $ AD $，$ BC $ 上两点，且满足 $ DF = BG $，求证：$ EF = HG $.

4. 证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD = BC, AB = DC, ∠A = ∠C.
∵ DF = BG,
∴ AD - DF = BC - BG, 即 AF = CG. 又
∵ E, H 分别为 AB, DC 的中点,
∴ AE = CH. 在 △AEF 和 △CHG 中, { AF = CG, ∠A = ∠C, AE = CH },
∴ △AEF ≌ △CHG(SAS).
∴ EF = HG.

5. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 在 $ AC $ 上，且 $ AE = CF $.求证：四边形 $ BEDF $ 是平行四边形.

5. 证明: 连接 BD, 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ OB = OD, OA = OC. 又 AE = CF,
∴ OA - AE = OC - CF, 即 OE = OF,
∴ 四边形 BEDF 为平行四边形.

6. 如图，已知在 $ □ ABCD $ 中，过点 $ A $ 作 $ AM ⊥ BC $ 于点 $ M $，交 $ BD $ 于点 $ E $，过点 $ C $ 作 $ CN ⊥ AD $ 于点 $ N $，交 $ BD $ 于点 $ F $，连接 $ AF $，$ CE $.求证：四边形 $ AECF $ 为平行四边形.

6. 证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB // DC, AB = CD, ∠ABC = ∠ADC, ∠ABD = ∠CDB. 又
∵ AM ⊥ BC, CN ⊥ AD,
∴ ∠BAM = ∠DCN,
∴ △ABE ≌ △CDF(ASA),
∴ AE = CF, ∠AEB = ∠CFD,
∴ ∠AEF = ∠CFE,
∴ AE // CF,
∴ 四边形 AECF 为平行四边形.