1. 计算：$(a· a^{3})^{2}=a^{2}· (a^{3})^{2}=a^{2}· a^{6}=a^{8}$.其中第一步运算的依据是()

A.同底数幂的乘法运算性质
B.幂的乘方运算性质
C.乘法分配律
D.积的乘方运算性质

D

$(a·a^{3})^{2}=a^{2}·(a^{3})^{2}$这一步是将积$(a·a^{3})$的平方转化为积中各因式$a$和$a^{3}$分别平方后再相乘，符合积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^n b^n$。

2. 下列运算正确的是()

A.$(-ab^{2})^{2}=a^{2}b^{2}$
B.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
C.$(-a)^{2}· a^{3}=a^{5}$
D.$a^{6}÷ a^{3}=a^{2}$

C

A. $(-ab^{2})^{2} = (-1)^{2} · a^{2} · (b^{2})^{2} = a^{2}b^{4}$，与选项不符，错误。
B. $(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项不符，错误。
C. $(-a)^{2} · a^{3} = a^{2} · a^{3} = a^{5}$，与选项一致，正确。
D. $a^{6} ÷ a^{3} = a^{6-3} = a^{3}$，与选项不符，错误。

3. 下列运算正确的是()

A.$2x^{2}y+3xy^{2}=5x^{3}y^{3}$
B.$(-x)^{3}· (-x)^{2}=-x^{5}$
C.$(-a^{3})^{2}÷ (-a^{2})^{3}=1$
D.$2x^{3}+x^{2}=3x^{5}$

B

选项A：$2x^{2}y$与$3xy^{2}$不是同类项，不能合并，所以A选项错误。
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$(-x)^{3}· (-x)^{2}=(-x)^{3 + 2}=(-x)^{5}=-x^{5}$，所以B选项正确。
选项C：先根据幂的乘方法则，$(-a^{3})^{2}=a^{6}$，$(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，再根据同底数幂的除法法则，$(-a^{3})^{2}÷ (-a^{2})^{3}=a^{6}÷ (-a^{6})=-1≠1$，所以C选项错误。
选项D：$2x^{3}$与$x^{2}$不是同类项，不能合并，所以D选项错误。

4. 已知$a=(-3)^{0}$，$b=(\dfrac {1}{2})^{-1}$，$c=2^{2}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为()

A.$a＜ b＜ c$
B.$b＜ a＜ c$
C.$a＜ c＜ b$
D.$b＜ c＜ a$

A

首先计算 $a$，$b$，$c$ 的值：
$a = (-3)^{0} = 1$，
$b = (\dfrac{1}{2})^{-1} = 2$，
$c = 2^{2} = 4$。
比较大小：$1 ＜ 2 ＜ 4$，即 $a ＜ b ＜ c$。

5. 对于自然数$n$，等式$(-a)^{n}=-a^{n}(a≠ 0)$成立的条件是()

A.$n$是奇数
B.$n$是偶数
C.$n$是零
D.$n$是整数

A

根据题意，对于自然数$n$，等式$(-a)^{n} = -a^{n}$成立，即需要满足：
$(-a)^{n} = (-1)^n · a^n = -a^n$，
由于$a ≠ 0$，可以两边同时除以$a^n$，得到：
$(-1)^n = -1$，
这意味着$(-1)^n$必须等于$-1$，这只有在$n$为奇数时才成立。

6. 填空：
(1)$x^{2}· x^{4}=$；
(2)$(-\dfrac {1}{2}ab^{2}c)^{2}=$；
(3)$a· (-a^{2})· (-a^{3})=$；
(4)$81× 3^{-4}=$.

(1)$x^{6}$；(2)$\frac{1}{4}a^{2}b^{4}c^{2}$；(3)$a^{6}$；(4)$1$。

(1) 根据同底数幂的乘法法则，$x^{2} · x^{4} = x^{2+4} = x^{6}$。
(2) 根据积的乘方法则，$( -\frac{1}{2}ab^{2}c )^{2} = ( -\frac{1}{2} )^{2} · a^{2} · (b^{2})^{2} · c^{2} = \frac{1}{4}a^{2}b^{4}c^{2}$。
(3) 根据同底数幂的乘法法则，$a · (-a^{2}) · (-a^{3}) = a · (-1 · a^{2}) · (-1 · a^{3}) = a · a^{2} · a^{3} = a^{1+2+3} = a^{6}$（负负得正）。
(4) 根据同底数幂的乘法法则，$81 × 3^{-4} = 3^{4} × 3^{-4} = 3^{4-4} = 3^{0} = 1$。