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12. 3D打印可以用金属、塑料、陶瓷等材料打印出三维模型。某兴趣小组用某种塑料打印了一个空间站模型,如图所示。已知体积为$20\ \mathrm{cm^3}$的这种塑料的质量为22 g。
（1）这种塑料的密度是多大?
（2）若该空间站模型的体积为$200\ \mathrm{cm^3}$、质量为55 g,请通过计算判断该作品是否为实心的。若是空心的,空心部分的体积为多少立方厘米?
（1）这种塑料的密度是多大?
（2）若该空间站模型的体积为$200\ \mathrm{cm^3}$、质量为55 g,请通过计算判断该作品是否为实心的。若是空心的,空心部分的体积为多少立方厘米?
答案
解：(1)塑料的密度$ρ=\dfrac {m}{V}=\dfrac {22\ \mathrm {g}}{20\ \mathrm {cm}^3}=1.1\ \mathrm {g/cm}^3$
答：这种塑料的密度是$1.1\ \mathrm {g/cm}^3$。
(2)55g 该塑料的体积$V_{实}=\dfrac {m'}{ρ}=\dfrac {55\ \mathrm {g}}{1.1\ \mathrm {g/cm}^3}=50\ \mathrm {cm}^3$
因为$200\ \mathrm {cm}^3＞50\ \mathrm {cm}^3$，所以该作品是空心的。
空心部分体积$V_{空}=V_{总}-V_{实}=200\ \mathrm {cm}^3-50\ \mathrm {cm}^3=150\ \mathrm {cm}^3$
【解析】
（1）已知塑料的质量$m_1=22\ \mathrm{g}$，体积$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得这种塑料的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{22\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
（2）已知空间站模型的质量$m_2=55\ \mathrm{g}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$变形可得，若模型为实心时的体积：
$V_{\mathrm{实}}=\frac{m_2}{\rho}=\frac{55\ \mathrm{g}}{1.1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
因为模型实际体积$V_{\mathrm{总}}=200\ \mathrm{cm}^3 ＞ V_{\mathrm{实}}$，所以该作品是空心的。
空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{实}}=200\ \mathrm{cm}^3 - 50\ \mathrm{cm}^3=150\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
$（1）1.1\ \mathrm{g/cm}^3$；（2）该作品是空心的，空心部分体积为$150\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用、空心问题判断
【点评】
本题考查密度公式的应用，通过密度计算判断物体是否空心，需要熟练掌握密度公式及其变形公式的使用，属于基础计算题。
【难度系数】
0.7
答：这种塑料的密度是$1.1\ \mathrm {g/cm}^3$。
(2)55g 该塑料的体积$V_{实}=\dfrac {m'}{ρ}=\dfrac {55\ \mathrm {g}}{1.1\ \mathrm {g/cm}^3}=50\ \mathrm {cm}^3$
因为$200\ \mathrm {cm}^3＞50\ \mathrm {cm}^3$，所以该作品是空心的。
空心部分体积$V_{空}=V_{总}-V_{实}=200\ \mathrm {cm}^3-50\ \mathrm {cm}^3=150\ \mathrm {cm}^3$
【解析】
（1）已知塑料的质量$m_1=22\ \mathrm{g}$，体积$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得这种塑料的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{22\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
（2）已知空间站模型的质量$m_2=55\ \mathrm{g}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$变形可得，若模型为实心时的体积：
$V_{\mathrm{实}}=\frac{m_2}{\rho}=\frac{55\ \mathrm{g}}{1.1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
因为模型实际体积$V_{\mathrm{总}}=200\ \mathrm{cm}^3 ＞ V_{\mathrm{实}}$，所以该作品是空心的。
空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{实}}=200\ \mathrm{cm}^3 - 50\ \mathrm{cm}^3=150\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
$（1）1.1\ \mathrm{g/cm}^3$；（2）该作品是空心的，空心部分体积为$150\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用、空心问题判断
【点评】
本题考查密度公式的应用，通过密度计算判断物体是否空心，需要熟练掌握密度公式及其变形公式的使用，属于基础计算题。
【难度系数】
0.7
解析
【分析】
第一问：已知塑料的质量和体积，直接利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$即可计算出塑料的密度，这是密度公式的基本应用。
第二问：要判断模型是否空心，先根据密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$，计算出55g该塑料的实心体积，将此实心体积与模型实际体积对比，若实际体积更大则为空心；最后用模型总体积减去实心体积，就能得到空心部分的体积。
【解析】
（1）已知塑料的质量$m_1=22\ \mathrm{g}$，体积$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得这种塑料的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{22\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$
（2）已知空间站模型的质量$m_2=55\ \mathrm{g}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$变形可得，该质量下塑料的实心体积：
$V_{\mathrm{实}}=\frac{m_2}{\rho}=\frac{55\ \mathrm{g}}{1.1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
因为模型实际体积$V_{\mathrm{总}}=200\ \mathrm{cm}^3 ＞ V_{\mathrm{实}}$，所以该作品是空心的。
空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{实}}=200\ \mathrm{cm}^3 - 50\ \mathrm{cm}^3=150\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
（1）$1.1\ \mathrm{g/cm}^3$；（2）该作品是空心的，空心部分体积为$150\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用、空心问题判断
【点评】
本题考查密度公式及其变形公式的应用，通过计算判断物体是否空心是密度知识的常见应用题型，属于基础计算题，熟练掌握密度公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
第一问：已知塑料的质量和体积，直接利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$即可计算出塑料的密度，这是密度公式的基本应用。
第二问：要判断模型是否空心，先根据密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$，计算出55g该塑料的实心体积，将此实心体积与模型实际体积对比，若实际体积更大则为空心；最后用模型总体积减去实心体积，就能得到空心部分的体积。
【解析】
（1）已知塑料的质量$m_1=22\ \mathrm{g}$，体积$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得这种塑料的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{22\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$
（2）已知空间站模型的质量$m_2=55\ \mathrm{g}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$变形可得，该质量下塑料的实心体积：
$V_{\mathrm{实}}=\frac{m_2}{\rho}=\frac{55\ \mathrm{g}}{1.1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
因为模型实际体积$V_{\mathrm{总}}=200\ \mathrm{cm}^3 ＞ V_{\mathrm{实}}$，所以该作品是空心的。
空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{实}}=200\ \mathrm{cm}^3 - 50\ \mathrm{cm}^3=150\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
（1）$1.1\ \mathrm{g/cm}^3$；（2）该作品是空心的，空心部分体积为$150\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用、空心问题判断
【点评】
本题考查密度公式及其变形公式的应用，通过计算判断物体是否空心是密度知识的常见应用题型，属于基础计算题，熟练掌握密度公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
1. 小明在缺少砝码的条件下想测出大理石的密度。现有器材：托盘天平、量筒、两个完全相同的烧杯、水、一小块大理石、细线和滴管等。小明决定按以下步骤进行实验。
(1) 实验过程。
① 将托盘天平放在水平台面上,并将游码移至，调节使天平平衡；② 如图(a)所示,在托盘天平左、右两盘内各放一只相同的烧杯,将大理石放在左盘的烧杯里,向右盘的烧杯中加水,在天平将要平衡时改用滴管加水,直至天平平衡；③ 将烧杯中的水倒入量筒中,液面位置如图(b)所示,读出体积并记录；④ 用量筒和水测出大理石的体积为$20\ \mathrm{cm^{3}}$。
(2) 记录实验数据并计算。
请你将实验数据填入下表,并进行相关计算。
(1) 实验过程。
① 将托盘天平放在水平台面上,并将游码移至，调节使天平平衡；② 如图(a)所示,在托盘天平左、右两盘内各放一只相同的烧杯,将大理石放在左盘的烧杯里,向右盘的烧杯中加水,在天平将要平衡时改用滴管加水,直至天平平衡；③ 将烧杯中的水倒入量筒中,液面位置如图(b)所示,读出体积并记录；④ 用量筒和水测出大理石的体积为$20\ \mathrm{cm^{3}}$。
(2) 记录实验数据并计算。
请你将实验数据填入下表,并进行相关计算。
答案
零刻度线处
平衡螺母
54
54
54
20
2.7
平衡螺母
54
54
54
20
2.7
解析
【分析】
这道题是利用等效替代法测量大理石密度，核心思路是通过天平平衡将大理石的质量等效为右盘烧杯中水的质量，再结合量筒测出水的体积算出质量，最后根据密度公式计算大理石密度。具体思考步骤如下：
1. 天平调平：回忆天平的使用规范，使用前需将游码移至标尺左端零刻度线处，调节平衡螺母使天平平衡，这是天平使用的基础操作。
2. 等效测质量：由于缺少砝码，借助两个相同烧杯，当天平平衡时左盘大理石质量等于右盘水的质量。通过量筒读出图(b)中水的体积为$54\ \mathrm{cm^{3}}$，利用水的密度$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm^{3}}$，根据$m=\rho V$可算出⽔的质量，该质量即为大理石的质量。
3. 密度计算：已知大理石体积为$20\ \mathrm{cm^{3}}$，将大理石的质量和体积代入密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，即可算出其密度。
【解析】
(1) ① 根据天平的正确使用步骤：将托盘天平放在水平台面上，先将游码移至标尺左端的零刻度线处，再调节平衡螺母使天平平衡。
(2) 实验数据填写与计算：
由图(b)可知，量筒中水的体积$V_{水}=54\ \mathrm{cm^{3}}$，水的密度$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm^{3}}$，根据公式$m=\rho V$，可得水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1\ \mathrm{g/cm^{3}} × 54\ \mathrm{cm^{3}}=54\ \mathrm{g}$。
因为天平平衡时，大理石的质量等于右盘水的质量，所以大理石的质量$m_{石}=m_{水}=54\ \mathrm{g}$。
已知大理石的体积$V_{石}=20\ \mathrm{cm^{3}}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得大理石的密度$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm^{3}}}=2.7\ \mathrm{g/cm^{3}}$。
将数据填入表格如下：
|水的体积$V_{水}/\mathrm{cm^{3}}$|水的质量$m_{水}/\mathrm{g}$|大理石质量$m_{石}/\mathrm{g}$|大理石体积$V_{石}/\mathrm{cm^{3}}$|大理石密度$\rho_{石}/(\mathrm{g· cm^{-3}})$|
|----|----|----|----|----|
|54|54|54|20|2.7|
【答案】
(1) ① 标尺左端的零刻度线处；平衡螺母
(2) 表格数据依次为：54、54、54、20、2.7
【知识点】
天平的使用；等效替代法测质量；密度的计算
【点评】
本题通过等效替代法巧妙解决了缺少砝码无法直接测质量的问题，既考查了天平的基本操作规范，又考查了密度公式的灵活应用，要求学生理解等效替代的实验思想，提升了实验设计和数据处理的能力。
【难度系数】
0.6
这道题是利用等效替代法测量大理石密度，核心思路是通过天平平衡将大理石的质量等效为右盘烧杯中水的质量，再结合量筒测出水的体积算出质量，最后根据密度公式计算大理石密度。具体思考步骤如下：
1. 天平调平：回忆天平的使用规范，使用前需将游码移至标尺左端零刻度线处，调节平衡螺母使天平平衡，这是天平使用的基础操作。
2. 等效测质量：由于缺少砝码，借助两个相同烧杯，当天平平衡时左盘大理石质量等于右盘水的质量。通过量筒读出图(b)中水的体积为$54\ \mathrm{cm^{3}}$，利用水的密度$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm^{3}}$，根据$m=\rho V$可算出⽔的质量，该质量即为大理石的质量。
3. 密度计算：已知大理石体积为$20\ \mathrm{cm^{3}}$，将大理石的质量和体积代入密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，即可算出其密度。
【解析】
(1) ① 根据天平的正确使用步骤：将托盘天平放在水平台面上，先将游码移至标尺左端的零刻度线处，再调节平衡螺母使天平平衡。
(2) 实验数据填写与计算：
由图(b)可知，量筒中水的体积$V_{水}=54\ \mathrm{cm^{3}}$，水的密度$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm^{3}}$，根据公式$m=\rho V$，可得水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1\ \mathrm{g/cm^{3}} × 54\ \mathrm{cm^{3}}=54\ \mathrm{g}$。
因为天平平衡时，大理石的质量等于右盘水的质量，所以大理石的质量$m_{石}=m_{水}=54\ \mathrm{g}$。
已知大理石的体积$V_{石}=20\ \mathrm{cm^{3}}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得大理石的密度$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm^{3}}}=2.7\ \mathrm{g/cm^{3}}$。
将数据填入表格如下：
|水的体积$V_{水}/\mathrm{cm^{3}}$|水的质量$m_{水}/\mathrm{g}$|大理石质量$m_{石}/\mathrm{g}$|大理石体积$V_{石}/\mathrm{cm^{3}}$|大理石密度$\rho_{石}/(\mathrm{g· cm^{-3}})$|
|----|----|----|----|----|
|54|54|54|20|2.7|
【答案】
(1) ① 标尺左端的零刻度线处；平衡螺母
(2) 表格数据依次为：54、54、54、20、2.7
【知识点】
天平的使用；等效替代法测质量；密度的计算
【点评】
本题通过等效替代法巧妙解决了缺少砝码无法直接测质量的问题，既考查了天平的基本操作规范，又考查了密度公式的灵活应用，要求学生理解等效替代的实验思想，提升了实验设计和数据处理的能力。
【难度系数】
0.6
