12. (10 分)请把下列证明过程补充完整.
已知：如图，$DE // BC$，$BE$ 平分 $∠ ABC$. 求证：$∠ 1 = ∠ 3$.
证明：$\because BE$ 平分 $∠ ABC$(已知)，
$\therefore ∠ 1 =$().
$\because DE // BC$(已知)，
$\therefore ∠ 2 =$().
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$().

12. $ ∠ 2 $ 角平分线的定义 $ ∠ 3 $ 两直线平行, 同位角相等 等量代换

13. （10 分）用反证法证明：如果 $ab ＜ 0$，$b ＞ 0$，那么 $a ＜ 0$.

13. 假设 $ a ≥ 0 $. $ \because b ＞ 0 $, $ \therefore ab ≥ 0 $. 这与已知条件 $ ab ＜ 0 $ 矛盾. $ \therefore $ 假设不成立. $ \therefore $ 如果 $ ab ＜ 0 $, $ b ＞ 0 $, 那么 $ a ＜ 0 $ 成立

14. （10 分）如图，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 中的任意三点都不在一条直线上. 求证：$∠ BDC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$.

14. 如图, 延长 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ E $, 因为 $ ∠ BEC $ 是 $ △ ABE $ 的外角, 所以 $ ∠ BEC = ∠ A + ∠ B $. 因为 $ ∠ BDC $ 是 $ △ CED $ 的外角, 所以 $ ∠ BDC = ∠ C + ∠ DEC = ∠ C + ∠ A + ∠ B $

15. (12 分)我们把形如 $\overline{aaa1}$($1 ≤ a ≤ 9$，$a$ 且为整数)的四位正整数叫作“三联一”数，例如：2 221，3 331 是“三联一”数.
(1)最小的“三联一”数为；最大的“三联一”数为.
(2)请证明任意“三联一”数不能被 3 整除.
(3)一个“三联一”数与 50 的和的 2 倍与另一个小于 5 000 不同的“三联一”数与 75 的和的 3 倍的和正好能被 13 整除，求这两个“三联一”数.

15. (1) 1 111, 9 991 (2) 由题意, 得 $ \overline{aaa1} = 1110a + 1 = 3 × 370a + 1 $. $ \because 3 × 370a $ 是 3 的倍数, 1 不是 3 的倍数, $ \therefore 3 × 370a + 1 $ 不能被 3 整除. $ \therefore $ 任意“三联一”数不能被 3 整除 (3) 设这两个“三联一”数为 $ \overline{aaa1} $, $ \overline{bbb1} $, 则 $ 2(\overline{aaa1} + 50) = 3(\overline{bbb1} + 75) = 13(171a + 256b + 25) + 2b - 3a + 5 = 13k $ ( $ k $ 为整数). $ \because 1 ≤ a ≤ 9 $, $ 1 ≤ b ≤ 4 $, 且 $ a $, $ b $ 为整数, $ a ≠ b $. $ \therefore - 20 ≤ 2b - 3a + 5 ≤ 10 $. $ \therefore 2b - 3a + 5 = - 13 $ 或 $ 0 $. $ \therefore 2b - 3a = - 18 $ 或 $ - 5 $. $ \therefore \begin{cases} a = 8, \\ b = 3, \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 3, \\ b = 2. \end{cases} $ $ \therefore $ 这两个数为 8 881, 3 331 或 3 331, 2 221