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变式训练
1. 计算：
（1）$6\sqrt{8}×(-2\sqrt{6})$；
（2）$\sqrt{ab}·\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{a}}$（$a＞0$，$b≥0$）；
（3）$\frac{2}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}}×(-9\sqrt{45})$；
（4）$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$。
1. 计算：
（1）$6\sqrt{8}×(-2\sqrt{6})$；
（2）$\sqrt{ab}·\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{a}}$（$a＞0$，$b≥0$）；
（3）$\frac{2}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}}×(-9\sqrt{45})$；
（4）$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$。
答案
变式训练
1. 解：(1)$-48\sqrt{3}$。 (2)$\dfrac{1}{3}\sqrt{b}$。 (3)$-45\sqrt{3}$。
(4)$-4\sqrt{3}$。
1. 解：(1)$-48\sqrt{3}$。 (2)$\dfrac{1}{3}\sqrt{b}$。 (3)$-45\sqrt{3}$。
(4)$-4\sqrt{3}$。
解析
【解析】
（1）根据二次根式乘法法则，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘：
$6\sqrt{8}×(-2\sqrt{6})=6×(-2)×\sqrt{8×6}=-12×\sqrt{48}=-12×4\sqrt{3}=-48\sqrt{3}$；
（2）结合$a＞0$，$b≥0$的条件，运用二次根式乘法法则：
$\sqrt{ab}·\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{a}}=1×\frac{1}{3}×\sqrt{ab·\frac{1}{a}}=\frac{1}{3}\sqrt{b}$；
（3）先将带分数化为假分数，再进行乘法运算：
$\frac{2}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}}×(-9\sqrt{45})=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{15}{4}}×(-9\sqrt{45})=\frac{2}{3}×(-9)×\sqrt{\frac{15}{4}×45}=-6×\sqrt{\frac{675}{4}}=-6×\frac{15\sqrt{3}}{2}=-45\sqrt{3}$；
（4）先将带分数化为假分数，再计算：
$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})=\sqrt{\frac{8}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})=1×2×(-\frac{1}{2})×\sqrt{\frac{8}{5}×3×10}=-1×\sqrt{48}=-4\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-48\sqrt{3}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\sqrt{b}}$；（3）$\boldsymbol{-45\sqrt{3}}$；（4）$\boldsymbol{-4\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题为二次根式乘法的基础运算题，需熟练运用二次根式乘法法则，注意系数与被开方数分别相乘，结果要化为最简二次根式，同时关注符号及字母的取值范围对运算的影响。
【难度系数】
0.8
（1）根据二次根式乘法法则，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘：
$6\sqrt{8}×(-2\sqrt{6})=6×(-2)×\sqrt{8×6}=-12×\sqrt{48}=-12×4\sqrt{3}=-48\sqrt{3}$；
（2）结合$a＞0$，$b≥0$的条件，运用二次根式乘法法则：
$\sqrt{ab}·\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{a}}=1×\frac{1}{3}×\sqrt{ab·\frac{1}{a}}=\frac{1}{3}\sqrt{b}$；
（3）先将带分数化为假分数，再进行乘法运算：
$\frac{2}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}}×(-9\sqrt{45})=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{15}{4}}×(-9\sqrt{45})=\frac{2}{3}×(-9)×\sqrt{\frac{15}{4}×45}=-6×\sqrt{\frac{675}{4}}=-6×\frac{15\sqrt{3}}{2}=-45\sqrt{3}$；
（4）先将带分数化为假分数，再计算：
$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})=\sqrt{\frac{8}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})=1×2×(-\frac{1}{2})×\sqrt{\frac{8}{5}×3×10}=-1×\sqrt{48}=-4\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-48\sqrt{3}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\sqrt{b}}$；（3）$\boldsymbol{-45\sqrt{3}}$；（4）$\boldsymbol{-4\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题为二次根式乘法的基础运算题，需熟练运用二次根式乘法法则，注意系数与被开方数分别相乘，结果要化为最简二次根式，同时关注符号及字母的取值范围对运算的影响。
【难度系数】
0.8
【例2】化简：
(1)$\sqrt{360}$；(2)$\sqrt{81×100}$；
(3)$\sqrt{21×112}$；
(4)$\sqrt{12x^2y^2z^3}$($x≥0$，$y≥0$，$z≥0$)。
思路分析
思考：360中包含的最大的平方数是
$81×100$中含有两个平方数，是
解：
【规律方法】
化简二次根式的方法
在应用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$($a≥0$，$b≥0$)时，先将被开方数分解为完全平方数(或完全平方式)与其他因式的积的形式，再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外，从而将二次根式化简。
(1)$\sqrt{360}$；(2)$\sqrt{81×100}$；
(3)$\sqrt{21×112}$；
(4)$\sqrt{12x^2y^2z^3}$($x≥0$，$y≥0$，$z≥0$)。
思路分析
思考：360中包含的最大的平方数是
36
；$81×100$中含有两个平方数，是
81
和100
；$21×112$中包含的平方数是$7^{2}$（或49）
和$4^{2}$（或16）
；$12x^2y^2z^3$中包含的平方数(或平方式)是4
，$x^{2}$
，$y^{2}$
和$z^{2}$
。解：
【规律方法】
化简二次根式的方法
在应用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$($a≥0$，$b≥0$)时，先将被开方数分解为完全平方数(或完全平方式)与其他因式的积的形式，再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外，从而将二次根式化简。
答案
【例2】
思路分析
思考：36 81 100 $7^{2}$（或49） $4^{2}$（或16） 4 $x^{2}$ $y^{2}$ $z^{2}$
解：(1)原式$=6\sqrt{10}$。 (2)原式$=90$。
(3)原式$=28\sqrt{3}$。 (4)原式$=2xyz\sqrt{3z}$。
思路分析
思考：36 81 100 $7^{2}$（或49） $4^{2}$（或16） 4 $x^{2}$ $y^{2}$ $z^{2}$
解：(1)原式$=6\sqrt{10}$。 (2)原式$=90$。
(3)原式$=28\sqrt{3}$。 (4)原式$=2xyz\sqrt{3z}$。
解析
【解析】
思路分析思考：360中包含的最大的平方数是36；$81×100$中含有两个平方数，是81和100；$21×112$中包含的平方数是49（或$7^2$）和16（或$4^2$）；$12x^2y^2z^3$中包含的平方数(或平方式)是4，$x^2$，$y^2$和$z^2$。
(1) $\sqrt{360}=\sqrt{36×10}=\sqrt{36}·\sqrt{10}=6\sqrt{10}$；
(2) $\sqrt{81×100}=\sqrt{81}·\sqrt{100}=9×10=90$；
(3) $\sqrt{21×112}=\sqrt{3×7×16×7}=\sqrt{16×49×3}=\sqrt{16}·\sqrt{49}·\sqrt{3}=4×7×\sqrt{3}=28\sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{12x^2y^2z^3}=\sqrt{4×3×x^2×y^2×z^2×z}=\sqrt{4}·\sqrt{x^2}·\sqrt{y^2}·\sqrt{z^2}·\sqrt{3z}=2xyz\sqrt{3z}$（$x≥0$，$y≥0$，$z≥0$）。
【答案】
(1)$6\sqrt{10}$；(2)$90$；(3)$28\sqrt{3}$；(4)$2xyz\sqrt{3z}$
【知识点】
二次根式化简，积的算术平方根性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是运用积的算术平方根的性质，将被开方数分解为完全平方数（或平方式）与其他因式的积，再将能开得尽方的部分移到根号外，帮助巩固二次根式化简的基础方法，属于基础训练题。
【难度系数】
0.8
思路分析思考：360中包含的最大的平方数是36；$81×100$中含有两个平方数，是81和100；$21×112$中包含的平方数是49（或$7^2$）和16（或$4^2$）；$12x^2y^2z^3$中包含的平方数(或平方式)是4，$x^2$，$y^2$和$z^2$。
(1) $\sqrt{360}=\sqrt{36×10}=\sqrt{36}·\sqrt{10}=6\sqrt{10}$；
(2) $\sqrt{81×100}=\sqrt{81}·\sqrt{100}=9×10=90$；
(3) $\sqrt{21×112}=\sqrt{3×7×16×7}=\sqrt{16×49×3}=\sqrt{16}·\sqrt{49}·\sqrt{3}=4×7×\sqrt{3}=28\sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{12x^2y^2z^3}=\sqrt{4×3×x^2×y^2×z^2×z}=\sqrt{4}·\sqrt{x^2}·\sqrt{y^2}·\sqrt{z^2}·\sqrt{3z}=2xyz\sqrt{3z}$（$x≥0$，$y≥0$，$z≥0$）。
【答案】
(1)$6\sqrt{10}$；(2)$90$；(3)$28\sqrt{3}$；(4)$2xyz\sqrt{3z}$
【知识点】
二次根式化简，积的算术平方根性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是运用积的算术平方根的性质，将被开方数分解为完全平方数（或平方式）与其他因式的积，再将能开得尽方的部分移到根号外，帮助巩固二次根式化简的基础方法，属于基础训练题。
【难度系数】
0.8
变式训练
2. 化简：
（1）$\sqrt{200}$；
（2）$\sqrt{9m^3}$；
（3）$\sqrt{8a^2b^2}$（$ab≥0$）；
（4）$\sqrt{5^2+12^2}$；
（5）$\sqrt{8x^2+16x^4}$（$x＞0$）。
2. 化简：
（1）$\sqrt{200}$；
（2）$\sqrt{9m^3}$；
（3）$\sqrt{8a^2b^2}$（$ab≥0$）；
（4）$\sqrt{5^2+12^2}$；
（5）$\sqrt{8x^2+16x^4}$（$x＞0$）。
答案
变式训练
2. 解：(1)原式$=10\sqrt{2}$。 (2)原式$=3m\sqrt{m}$。
(3)原式$=2\sqrt{2}ab$。 (4)原式$=13$。
(5)原式$=2x\sqrt{2+4x^{2}}$。
2. 解：(1)原式$=10\sqrt{2}$。 (2)原式$=3m\sqrt{m}$。
(3)原式$=2\sqrt{2}ab$。 (4)原式$=13$。
(5)原式$=2x\sqrt{2+4x^{2}}$。
解析
【解析】
（1）$\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=\sqrt{100}×\sqrt{2}=10\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{9m^3}=\sqrt{9×m^2×m}=\sqrt{9}×\sqrt{m^2}×\sqrt{m}=3m\sqrt{m}$；
（3）因为$ab≥0$，所以$\sqrt{8a^2b^2}=\sqrt{4×2×(ab)^2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}×\sqrt{(ab)^2}=2\sqrt{2}ab$；
（4）先计算被开方数：$5^2+12^2=25+144=169$，则$\sqrt{169}=13$；
（5）因为$x＞0$，所以$\sqrt{8x^2+16x^4}=\sqrt{4x^2(2+4x^2)}=\sqrt{4x^2}×\sqrt{2+4x^2}=2x\sqrt{2+4x^2}$。
【答案】
(1)$10\sqrt{2}$；(2)$3m\sqrt{m}$；(3)$2\sqrt{2}ab$；(4)$13$；(5)$2x\sqrt{2+4x^{2}}$
【知识点】
二次根式化简、算术平方根性质、因式分解应用
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，需熟练运用二次根式的乘积开方性质，同时注意题目中字母的取值范围，保证开方后结果的非负性，是对二次根式化简核心知识点的基础考查。
【难度系数】
0.7
（1）$\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=\sqrt{100}×\sqrt{2}=10\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{9m^3}=\sqrt{9×m^2×m}=\sqrt{9}×\sqrt{m^2}×\sqrt{m}=3m\sqrt{m}$；
（3）因为$ab≥0$，所以$\sqrt{8a^2b^2}=\sqrt{4×2×(ab)^2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}×\sqrt{(ab)^2}=2\sqrt{2}ab$；
（4）先计算被开方数：$5^2+12^2=25+144=169$，则$\sqrt{169}=13$；
（5）因为$x＞0$，所以$\sqrt{8x^2+16x^4}=\sqrt{4x^2(2+4x^2)}=\sqrt{4x^2}×\sqrt{2+4x^2}=2x\sqrt{2+4x^2}$。
【答案】
(1)$10\sqrt{2}$；(2)$3m\sqrt{m}$；(3)$2\sqrt{2}ab$；(4)$13$；(5)$2x\sqrt{2+4x^{2}}$
【知识点】
二次根式化简、算术平方根性质、因式分解应用
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，需熟练运用二次根式的乘积开方性质，同时注意题目中字母的取值范围，保证开方后结果的非负性，是对二次根式化简核心知识点的基础考查。
【难度系数】
0.7
