一、选择题
1. 等腰三角形的面积为40，底边长为4，则底角的正切值为()
A. 10
B. 20
C. $\frac{1}{10}$
D. $\frac{1}{20}$

解：
设等腰三角形为$△ ABC$，$BC$为底边，$BC=4$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$AD⊥ BC$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$（等腰三角形三线合一）。
$\because S_{△ ABC}=40$，
$\therefore \frac{1}{2}× BC× AD=40$，
即$\frac{1}{2}×4× AD=40$，
解得$AD=20$。
在$Rt△ ABD$中，$\tan∠ B=\frac{AD}{BD}=\frac{20}{2}=10$。
故选A。

2. 如图1，在300米高的峭壁$AB$的顶端$A$测得一塔的塔顶$C$与塔基$D$的俯角分别为$30°$和$60°$，则塔高$CD$为()

A.$200m$
B.$180m$
C.$150m$
D.$100m$

A

1. 过点C作CE⊥AB于点E，由题意可知四边形CDBE为矩形，故CD=BE，CE=BD。
2. 在Rt△ABD中，由俯角定义及平行线内错角相等得∠ADB=60°，已知AB=300m，根据正切函数定义：$\tan60°=\frac{AB}{BD}$，代入得$BD=\frac{300}{\sqrt{3}}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$CE=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
3. 在Rt△ACE中，同理得∠CAE=30°，根据正切函数定义：$\tan30°=\frac{CE}{AE}$，又$AE=BD=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，代入得$CE=100\sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}=100\ \mathrm{m}$。
4. 由$BE=AB-CE=300-100=200\ \mathrm{m}$，得$CD=BE=200\ \mathrm{m}$。

3. 如图2，一敌机从高炮正上方2000米的$D$点经过，沿水平方向飞行，稍后到达$B$点，这时仰角为$45°$，1分钟后，飞机到达$A$点，此时仰角为$30°$，则飞机从$B$到$A$的速度是()米/分.



A.1461
B.1462
C.1463
D.1464

D

1. 根据题意，$CD=2000$米，$CD⊥ AB$，AB为飞机水平飞行路线，故$△ CDB$、$△ CDA$均为直角三角形。
2. 在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，仰角为$45°$，由$\tan45°=\frac{CD}{BD}$，代入$CD=2000$米，得$BD=\frac{2000}{\tan45°}=\frac{2000}{1}=2000$米。
3. 在$\mathrm{Rt}△ CDA$中，仰角为$30°$，由$\tan30°=\frac{CD}{AD}$，代入$CD=2000$米，得$AD=\frac{2000}{\tan30°}=\frac{2000}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2000\sqrt{3}$米。
4. 计算$AB$的长度：$AB=AD-BD=2000\sqrt{3}-2000\approx2000×(1.732-1)=1464$米。
5. 飞机从$B$到$A$用时1分钟，故速度为1464米/分。

4. 如图3，将放置于平面直角坐标系中的三角板$AOB$绕$O$点顺时针旋转$90°$得$△ A'OB'$.已知$∠ AOB = 30°$，$∠ B = 90°$，$AB = 1$，则$B'$点的坐标为()

A.$( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2} )$
B.$( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} )$
C.$( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} )$
D.$( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2} )$

B

1. 在Rt△AOB中，∠B=90°，∠AOB=30°，AB=1，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，得OA=2AB=2。
2. 由勾股定理计算OB：OB=√(OA²-AB²)=√(2²-1²)=√3。
3. 根据旋转性质，OB'=OB=√3，∠A'OB'=∠AOB=30°，且OA'为OA顺时针旋转90°所得，即OA'在x轴正方向。
4. 过B'作x轴垂线，垂足为D，在Rt△ODB'中，OD=OB'cos30°=√3×(√3/2)=3/2，DB'=OB'sin30°=√3×(1/2)=√3/2，故B'点坐标为(3/2, √3/2)。

5. 如图4，每个小正方形的边长为1，$A$，$B$，$C$是小正方形的顶点，则$∠ ABC$的度数为()

A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$

C

连接AC，根据勾股定理计算边长：
$AC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$，
$AB = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$。
由$AC^2 + BC^2 = 5+5=10=AB^2$，且$AC=BC$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ABC=45°$。

二、填空题
1. 在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$∠ B = 45°$，$∠ D = 120°$，$AB = 4\sqrt{2}$，则$CD$的长为.

解：
过点A作$AE ⊥ BC$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$于点F，
$\because AD // BC$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形$AEFD$是矩形，
$\therefore DF = AE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ B = 45°$，$AB = 4\sqrt{2}$，
$AE = AB · \sin45° = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$，
$\therefore DF = 4$。
$\because AD // BC$，$∠ ADC = 120°$，
$\therefore ∠ DCF = 180° - 120° = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$∠ DFC = 90°$，$∠ DCF = 60°$，$DF = 4$，
$\because \sin∠ DCF = \frac{DF}{CD}$，
$\therefore CD = \frac{DF}{\sin60°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$。

2. 长为4米的梯子搭在墙上与地面成$45°$角，作业时调整为$60°$角，则梯子的顶端沿墙面升高了米(结果精确到0.01米).

0.64

在梯子、墙面、地面构成的直角三角形中，梯子长为斜边（4米），顶端高度为对边，根据正弦函数定义$\sinθ=\frac{对边}{斜边}$：
1. 当梯子与地面成$45°$角时，顶端高度$h_1 = 4×\sin45° = 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx2.828$米；
2. 当梯子与地面成$60°$角时，顶端高度$h_2 = 4×\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\approx3.464$米；
3. 计算升高的高度：$h_2 - h_1\approx3.464 - 2.828=0.64$米（精确到0.01米）。