3. 如图5，$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，点$D$在$BC$上，$BD = 6$，$AD = BC$，$\cos ∠ ADC = \frac{3}{5}$，则$DC$的长为.

9

设$ DC $的长为$ x $，则$ BC = BD + DC = 6 + x $。
因为$ AD = BC $，所以$ AD = 6 + x $。
在$ \mathrm{Rt}△ ADC $中，$ \cos∠ ADC = \frac{DC}{AD} = \frac{3}{5} $，代入得$ \frac{x}{6+x} = \frac{3}{5} $。
交叉相乘得：$ 5x = 3(6+x) $，
展开并移项解得：$ x = 9 $。

4. 如图6，太阳光线与地面成$60°$角，一棵倾斜的大树与地面成$30°$角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树原来高约为米(结果取整数).

17

过树顶$ A $作$ AD ⊥ $地面于点$ D $，设大树高$ AB=h $米。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，因大树与地面成$30°$角，故$ AD=AB·\sin30°=\frac{h}{2} $，$ BD=AB·\cos30°=\frac{\sqrt{3}h}{2} $；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，因太阳光线与地面成$60°$角，故$ CD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{\frac{h}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{h}{2\sqrt{3}} $；
3. 由$ BD - CD=10 $，代入得$ \frac{\sqrt{3}h}{2}-\frac{h}{2\sqrt{3}}=10 $，通分计算得$ h=10\sqrt{3}\approx17 $（米）。

三、解答题
1. 如图7，某商业大厦离小伟家60米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是$45°$，而大厦底部的俯角是$30°$，求该大厦的高度(结果精确到0.01米).

解：由题意得，$DC ⊥ AB$，$DC=60$米，$∠ ADC=45°$，$∠ BDC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$\because \tan∠ ADC=\frac{AC}{DC}$，
$\therefore AC=DC·\tan45°=60×1=60$米。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，
$\because \tan∠ BDC=\frac{BC}{DC}$，
$\therefore BC=DC·\tan30°=60×\frac{\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\approx34.64$米。
$\therefore AB=AC+BC=60+20\sqrt{3}\approx94.64$米。
答：该大厦的高度约为94.64米。

2. 如图8，天空中有一个静止的广告气球$C$，从地面$A$点测得$C$点的仰角为$45°$，从地面$B$点测得$C$点的仰角为$60°$.已知$AB = 20m$，点$C$和直线$AB$在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留根号).

解：过点$ C $作$ CD ⊥ AB $，交$ AB $的延长线于点$ D $，设$ CD = h \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt} △ ACD $中，$ ∠ A = 45° $，$ ∠ ADC = 90° $，
则$ \tan 45° = \frac{CD}{AD} = 1 $，故$ AD = CD = h $。
在$ \mathrm{Rt} △ BCD $中，$ ∠ CBD = 60° $，$ ∠ BDC = 90° $，
则$ \tan 60° = \frac{CD}{BD} $，即$ BD = \frac{CD}{\tan 60°} = \frac{h}{\sqrt{3}} $。
由$ AB = AD - BD = 20 $，得：
$ h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 20 $
$ h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 20 $
$ h = \frac{20}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = 30 + 10\sqrt{3} $
答：气球离地面的高度为$ (30 + 10\sqrt{3}) \, \mathrm{m} $。