(1)一个圆柱和一个圆锥的体积与高都相等。若圆柱的底面积是 $12 \mathrm{ cm}^2$，则圆锥的底面积是()$\mathrm{cm}^2$。

36

解：设圆柱和圆锥的体积为$V$，高为$h$。
圆柱体积公式：$V = S_{柱}h$，已知$S_{柱}=12\space cm^2$，则$V = 12h$。
圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}S_{锥}h$。
因为圆柱和圆锥体积相等，所以$12h=\frac{1}{3}S_{锥}h$，两边同时除以$h$（$h≠0$），得$12 = \frac{1}{3}S_{锥}$，解得$S_{锥}=36\space cm^2$。

(2)一个圆柱和一个圆锥的体积与底面积都相等。若圆锥的高是 $15 \mathrm{ cm}$，则圆柱的高是()$\mathrm{cm}$。

因为圆柱体积 $V_{柱} =S_{底}h_{柱}$，圆锥体积 $V_{锥}=\frac{1}{3}S_{底}h_{锥}$，
已知 $V_{柱}=V_{锥}$，$S_{底}$ 也相等，则 $S_{底}h_{柱}=\frac{1}{3}S_{底}h_{锥}$，
所以 $h_{柱}=\frac{1}{3}h_{锥}$，
已知圆锥高 $15\mathrm{cm}$，则圆柱的高 $h_{柱}=\frac{1}{3}×15 = 5\mathrm{cm}$。
故答案为 $5$。

(3)一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少 $2.4 \mathrm{ dm}^3$，则这个圆锥的体积是()$\mathrm{dm}^3$，圆柱的体积是()$\mathrm{dm}^3$。

设圆锥的体积为 $V \mathrm{dm}^3$，则圆柱的体积为 $3V \mathrm{dm}^3$。
根据题意，圆柱体积减去圆锥体积等于$ 2.4 \mathrm{dm}^3$，即：
$3V - V = 2.4$，
$2V = 2.4$，
$V = 1.2$，
所以，圆锥的体积为 $1.2 \mathrm{dm}^3$，圆柱的体积为 $3 × 1.2 = 3.6 \mathrm{dm}^3$。
答案为：$1.2$；$3.6$。

(1)一个圆锥的高如果缩小到原来的 $\frac{1}{4}$，要使体积不变，那么底面半径应()。

A.缩小到原来的 $\frac{1}{2}$
B.缩小到原来的 $\frac{1}{4}$
C.扩大到原来的 $2$ 倍
D.扩大到原来的 $4$ 倍

C

圆锥的体积公式为 $V=\frac{1}{3}π r^{2}h$，设原来的高为 $h$，原来的底面半径为 $r$，原来的体积为 $V_0 = \frac{1}{3}π r^{2}h$。现在高缩小到原来的 $\frac{1}{4}$，即新高度 $h'=\frac{1}{4}h$，设现在底面半径变为 $r'$，体积不变则 $\frac{1}{3}π r'^{2}×\frac{1}{4}h=\frac{1}{3}π r^{2}h$，等式两边同时除以 $\frac{1}{3}π h$ 可得：$r'^{2}×\frac{1}{4}=r^{2}$，即 $r'^{2}=4r^{2}$，因为 $r＞0$，所以 $r' = 2r$，也就是底面半径扩大到原来的 $2$ 倍。

(2)$12$ 个同样的圆锥可以熔铸成()个与它等底等高的圆柱。

A.$12$
B.$4$
C.$36$
D.$48$

B

等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，即$3$个同样的圆锥可以熔铸成$1$个与其等底等高的圆柱，$12÷3 = 4$，所以$12$个同样的圆锥可以熔铸成$4$个与它等底等高的圆柱。

(3)把一段圆柱形木料削成与它等底等高的圆锥形木料，削去部分的体积是圆柱体积的()。

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

C

圆柱的体积公式为$V_{\mathrm{圆柱}} = S · h$，圆锥的体积公式为$V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} S · h$，其中$S$为底面积，$h$为高。
由于圆锥与圆柱等底等高，因此圆锥体积为圆柱体积的$\frac{1}{3}$，削去部分的体积为圆柱体积的$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

3. 一个圆锥形沙堆，底面直径是 $12 \mathrm{ m}$，高是 $1.5 \mathrm{ m}$。用这堆沙在 $9 \mathrm{ m}$ 宽的公路上铺 $4 \mathrm{ cm}$ 厚的路面，能铺多少米？

（此处无选择题选项，若按计算结果对应选项则为所求答案对应选项，本题直接给结果）结果为157米对应的选项。

本题可先根据圆锥体积公式求出沙堆的体积，再根据长方体体积公式求出铺在公路上的长度。
步骤一：计算圆锥形沙堆的体积
已知圆锥底面直径$d = 12m$，则半径$r=\frac{d}{2}=\frac{12}{2}=6m$，高$h = 1.5m$。
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$（其中$π$取$3.14$），可得沙堆体积为：
$\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×1.5$
$=\frac{1}{3}×3.14×36×1.5$
$=3.14×12×1.5$
$=56.52$（$m^{3}$）
步骤二：统一单位并计算铺在公路上的长度
已知要在$9m$宽的公路上铺$4cm$厚的路面，因为$1m = 100cm$，所以$4cm = 4÷100 = 0.04m$。
由于沙子的体积不变，铺在公路上可看作一个长方体，根据长方体体积公式$V = a× b× h$（其中$V$为体积，$a$为长，$b$为宽，$h$为高），可得长度$a = V÷(b× h)$，将$V = 56.52m^{3}$，$b = 9m$，$h = 0.04m$代入可得：
$56.52÷(9×0.04)=56.52÷0.36 = 157$（$m$）

4. 在一个装有水的底面直径是 $20 \mathrm{ cm}$ 的圆柱形容器中，浸没着一个底面直径是 $10 \mathrm{ cm}$、高 $12 \mathrm{ cm}$ 的圆锥形铅锤。把铅锤从水中取出后，水面会下降多少厘米？

水面会下降 $1 $厘米。

底面半径：$ 10 ÷ 2=5（cm）$，
圆锥体积公式为$ \frac{1}{3} × π × r^2 × h $，其中$ r = 5 \mathrm{ cm} $，$ h = 12 \mathrm{ cm} $。
代入数值计算：
$ \mathrm{圆锥体积} = \frac{1}{3} × 3.14 × 5^2 × 12 = 314（cm^3）$。
圆柱底面半径：$ 20 ÷ 2=10（cm）$。
圆柱底面积：$ π × r^2 = 3.14 × 10^2 = 314（cm^2）$。
水面下降高度：
$ \mathrm{下降高度} = \frac{\mathrm{圆锥体积}}{\mathrm{圆柱底面积}} = \frac{314 ÷ 314}{ } = 1（cm）$。

5. 提升题 一个密闭的容器(如图所示，单位：$\mathrm{cm}$)中装有一些水。如果把这个容器倒过来，从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？

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容器底面半径：8÷2=4(cm)，底面积：π×4²=16π(cm²)。
原来水的体积：16π×6=96π(cm³)。
圆锥体积：1/3×16π×6=32π(cm³)。
倒过来后，圆锥装满水后剩余水体积：96π-32π=64π(cm³)。
剩余水在圆柱部分的高度：64π÷16π=4(cm)。
水面到圆锥顶点的高度：6+4=10(cm)。