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8. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，已知 OF⊥CD，∠COE = 2∠AOC。
（1）若∠BOD = 28°，求∠COE 的度数。
（2）若∠BOF = 60°，判断 OE 与 AB 的位置关系，并说明理由。
（1）若∠BOD = 28°，求∠COE 的度数。
（2）若∠BOF = 60°，判断 OE 与 AB 的位置关系，并说明理由。
答案
8.解:(1)因为∠AOC=∠BOD,∠BOD=28°,
所以∠AOC=28°。
因为∠COE=2∠AOC,
所以∠COE=2×28°=56°。
(2)OE⊥AB,理由如下:
因为OF⊥CD,
所以∠DOF=90°。
因为∠BOF=60°,
所以∠BOD=30°,
所以∠COE=2∠AOC=2∠BOD=60°,
所以∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+60°=90°,即OE⊥AB。
所以∠AOC=28°。
因为∠COE=2∠AOC,
所以∠COE=2×28°=56°。
(2)OE⊥AB,理由如下:
因为OF⊥CD,
所以∠DOF=90°。
因为∠BOF=60°,
所以∠BOD=30°,
所以∠COE=2∠AOC=2∠BOD=60°,
所以∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+60°=90°,即OE⊥AB。
解析
【分析】
（1）首先根据对顶角相等的性质，由∠BOD的度数得到∠AOC的度数，再结合∠COE与∠AOC的倍数关系，即可求出∠COE的度数；
（2）先由OF⊥CD得出∠DOF=90°，结合∠BOF的度数求出∠BOD的度数，再利用对顶角相等得到∠AOC的度数，进而求出∠COE的度数，最后通过计算∠AOE的度数判断OE与AB的位置关系。
【解析】
(1) 因为直线AB，CD相交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$，
已知$∠ BOD=28°$，所以$∠ AOC=28°$。
又因为$∠ COE=2∠ AOC$，
所以$∠ COE=2×28°=56°$。
(2) $OE⊥ AB$，理由如下：
因为$OF⊥ CD$，根据垂直的定义，可得$∠ DOF=90°$。
已知$∠ BOF=60°$，所以$∠ BOD=∠ DOF - ∠ BOF=90°-60°=30°$。
根据对顶角相等，$∠ AOC=∠ BOD=30°$。
因为$∠ COE=2∠ AOC$，所以$∠ COE=2×30°=60°$。
则$∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=30°+60°=90°$，根据垂直的定义，可得$OE⊥ AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{56°}$；(2) $\boldsymbol{OE⊥ AB}$，理由见解析。
【知识点】
对顶角相等，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题主要考查对顶角的性质与垂直的定义，解题的关键是理清图中各个角之间的数量关系，通过角的和差运算完成求解，难度适中，注重基础知识点的运用。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据对顶角相等的性质，由∠BOD的度数得到∠AOC的度数，再结合∠COE与∠AOC的倍数关系，即可求出∠COE的度数；
（2）先由OF⊥CD得出∠DOF=90°，结合∠BOF的度数求出∠BOD的度数，再利用对顶角相等得到∠AOC的度数，进而求出∠COE的度数，最后通过计算∠AOE的度数判断OE与AB的位置关系。
【解析】
(1) 因为直线AB，CD相交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$，
已知$∠ BOD=28°$，所以$∠ AOC=28°$。
又因为$∠ COE=2∠ AOC$，
所以$∠ COE=2×28°=56°$。
(2) $OE⊥ AB$，理由如下：
因为$OF⊥ CD$，根据垂直的定义，可得$∠ DOF=90°$。
已知$∠ BOF=60°$，所以$∠ BOD=∠ DOF - ∠ BOF=90°-60°=30°$。
根据对顶角相等，$∠ AOC=∠ BOD=30°$。
因为$∠ COE=2∠ AOC$，所以$∠ COE=2×30°=60°$。
则$∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=30°+60°=90°$，根据垂直的定义，可得$OE⊥ AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{56°}$；(2) $\boldsymbol{OE⊥ AB}$，理由见解析。
【知识点】
对顶角相等，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题主要考查对顶角的性质与垂直的定义，解题的关键是理清图中各个角之间的数量关系，通过角的和差运算完成求解，难度适中，注重基础知识点的运用。
【难度系数】
0.7
9. P 为直线 m 外一点，A，B，C 为直线 m 上三点，PA = 5，PB = 4，PC = 3，则点 P 到直线 m 的距离(
A.不大于 3
B.等于 3
C.小于 3
D.不小于 3
A
)A.不大于 3
B.等于 3
C.小于 3
D.不小于 3
答案
9.A
解析
【分析】
首先要明确点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。根据“垂线段最短”的性质，直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。题目中P是直线m外一点，A、B、C在直线m上，已知PA=5，PB=4，PC=3，PC是这三条线段中最短的，但PC不一定就是垂线段，所以点P到直线m的距离一定小于等于PC的长度，也就是不大于3，由此可以判断出正确选项。
【解析】
根据点到直线的距离定义及垂线段最短的性质：
直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，即点P到直线m的距离是P到直线m上所有点的线段中最短的长度。
已知PA=5，PB=4，PC=3，其中PC=3是三条线段里最短的，但PC不一定是垂线段，因此点P到直线m的距离≤3，即不大于3。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；点到直线的距离定义
【点评】
本题主要考查垂线段最短的性质和点到直线的距离定义，易错点是容易误将PC当作垂线段，忽略PC可能不是垂线段的情况，需要准确理解垂线段是最短的，但最短的线段不一定是垂线段。
【难度系数】
0.6
首先要明确点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。根据“垂线段最短”的性质，直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。题目中P是直线m外一点，A、B、C在直线m上，已知PA=5，PB=4，PC=3，PC是这三条线段中最短的，但PC不一定就是垂线段，所以点P到直线m的距离一定小于等于PC的长度，也就是不大于3，由此可以判断出正确选项。
【解析】
根据点到直线的距离定义及垂线段最短的性质：
直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，即点P到直线m的距离是P到直线m上所有点的线段中最短的长度。
已知PA=5，PB=4，PC=3，其中PC=3是三条线段里最短的，但PC不一定是垂线段，因此点P到直线m的距离≤3，即不大于3。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；点到直线的距离定义
【点评】
本题主要考查垂线段最短的性质和点到直线的距离定义，易错点是容易误将PC当作垂线段，忽略PC可能不是垂线段的情况，需要准确理解垂线段是最短的，但最短的线段不一定是垂线段。
【难度系数】
0.6
10. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM = 29°，则∠CON 的度数为
61
度。答案
10.61
解析
【分析】
首先，根据角平分线的定义，由OM平分∠AOC且∠AOM=29°，可得出∠COM的度数；接着，由ON⊥OM可知∠MON=90°，最后利用角的和差关系，用∠MON减去∠COM即可求出∠CON的度数。
【解析】
∵ 射线OM平分∠AOC，∠AOM = 29°，
∴ ∠COM = ∠AOM = 29°（角平分线的定义）。
∵ ON⊥OM，
∴ ∠MON = 90°（垂直的定义）。
∴ ∠CON = ∠MON - ∠COM = 90° - 29° = 61°。
【答案】
61
【知识点】
角平分线的定义，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题主要考查角平分线与垂直的基本性质，通过角的和差关系求解角度，属于基础几何题，解题关键是熟练运用相关定义转化角度关系。
【难度系数】
0.8
首先，根据角平分线的定义，由OM平分∠AOC且∠AOM=29°，可得出∠COM的度数；接着，由ON⊥OM可知∠MON=90°，最后利用角的和差关系，用∠MON减去∠COM即可求出∠CON的度数。
【解析】
∵ 射线OM平分∠AOC，∠AOM = 29°，
∴ ∠COM = ∠AOM = 29°（角平分线的定义）。
∵ ON⊥OM，
∴ ∠MON = 90°（垂直的定义）。
∴ ∠CON = ∠MON - ∠COM = 90° - 29° = 61°。
【答案】
61
【知识点】
角平分线的定义，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题主要考查角平分线与垂直的基本性质，通过角的和差关系求解角度，属于基础几何题，解题关键是熟练运用相关定义转化角度关系。
【难度系数】
0.8
11. 如图，C 是∠AOB 的边 OB 上一点，按下列要求画图并回答问题.
（1）过点 C 画 OB 的垂线，交 OA 于点 D。
（2）过点 C 修一条到 OA 最短的路 CE，点 E 在 OA 上，画出图形，并说明理由。
（3）比较线段 CE，OD，CD 的大小。（请直接写出结论）
（4）请写出所画图中所有与∠AOB 互余的角。（不添加其他字母）
（1）过点 C 画 OB 的垂线，交 OA 于点 D。
（2）过点 C 修一条到 OA 最短的路 CE，点 E 在 OA 上，画出图形，并说明理由。
（3）比较线段 CE，OD，CD 的大小。（请直接写出结论）
（4）请写出所画图中所有与∠AOB 互余的角。（不添加其他字母）
答案
11.解:(1)OB的垂线DC如图所示。
(2)点C到OA最短的路CE如图所示。
理由为垂线段最短。
(3)因为CE⊥OA,所以CE＜CD。
因为在△OCD中,OD是斜边，CD是直角边，
所以CD＜OD,所以CE＜CD＜OD。
(4)因为CE⊥OA,所以∠AOB+∠OCE=90°。
因为CD⊥OB,所以∠AOB+∠ODC=90°,
所以与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC。
解析
【分析】
1. 第（1）问：根据垂线的定义，利用三角板的直角边，使一条直角边与OB重合，另一条直角边过点C画直线，与OA的交点即为点D，从而画出OB的垂线DC。
2. 第（2）问：依据“垂线段最短”的性质，要找到点C到OA最短的路径，只需过点C作OA的垂线段CE，因为直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短。
3. 第（3）问：先根据垂线段最短得出CE＜CD；再结合直角三角形中斜边大于直角边的性质，在Rt△OCD中，OD是斜边，CD是直角边，可得CD＜OD，进而推导出三者的大小关系。
4. 第（4）问：根据互余的定义（两个角的和为90°），结合所作垂线的垂直关系，找出与∠AOB相加等于90°的角。
【解析】
(1) 按照垂线的画法，画出OB的垂线DC，交OA于点D，图形如图所示。
(2) 过点C作OA的垂线段CE，点E在OA上，图形如图所示。
理由：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短。
(3) 因为$CE⊥OA$，根据垂线段最短，可得$CE＜CD$；
在$Rt△OCD$中，OD是斜边，CD是直角边，根据直角三角形斜边大于直角边，可得$CD＜OD$；
所以$CE＜CD＜OD$。
(4) 因为$CE⊥OA$，所以$∠AOB+∠OCE=90°$；
因为$CD⊥OB$，所以$∠AOB+∠ODC=90°$；
因此与$∠AOB$互余的角是$∠OCE$与$∠ODC$。
【答案】
(1) 画出OB的垂线DC（图形略）；
(2) 画出垂线段CE，理由是垂线段最短；
(3) $\boldsymbol{CE＜CD＜OD}$；
(4) $\boldsymbol{∠OCE}$与$\boldsymbol{∠ODC}$。
【知识点】
垂线段最短；直角三角形斜边性质；余角的定义
【点评】
本题综合考查了基本作图、垂线段的性质、直角三角形的边的关系以及余角的概念，既需要掌握基本的作图方法，又要能运用几何性质进行推理和比较，有助于提升学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问：根据垂线的定义，利用三角板的直角边，使一条直角边与OB重合，另一条直角边过点C画直线，与OA的交点即为点D，从而画出OB的垂线DC。
2. 第（2）问：依据“垂线段最短”的性质，要找到点C到OA最短的路径，只需过点C作OA的垂线段CE，因为直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短。
3. 第（3）问：先根据垂线段最短得出CE＜CD；再结合直角三角形中斜边大于直角边的性质，在Rt△OCD中，OD是斜边，CD是直角边，可得CD＜OD，进而推导出三者的大小关系。
4. 第（4）问：根据互余的定义（两个角的和为90°），结合所作垂线的垂直关系，找出与∠AOB相加等于90°的角。
【解析】
(1) 按照垂线的画法，画出OB的垂线DC，交OA于点D，图形如图所示。
(2) 过点C作OA的垂线段CE，点E在OA上，图形如图所示。
理由：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短。
(3) 因为$CE⊥OA$，根据垂线段最短，可得$CE＜CD$；
在$Rt△OCD$中，OD是斜边，CD是直角边，根据直角三角形斜边大于直角边，可得$CD＜OD$；
所以$CE＜CD＜OD$。
(4) 因为$CE⊥OA$，所以$∠AOB+∠OCE=90°$；
因为$CD⊥OB$，所以$∠AOB+∠ODC=90°$；
因此与$∠AOB$互余的角是$∠OCE$与$∠ODC$。
【答案】
(1) 画出OB的垂线DC（图形略）；
(2) 画出垂线段CE，理由是垂线段最短；
(3) $\boldsymbol{CE＜CD＜OD}$；
(4) $\boldsymbol{∠OCE}$与$\boldsymbol{∠ODC}$。
【知识点】
垂线段最短；直角三角形斜边性质；余角的定义
【点评】
本题综合考查了基本作图、垂线段的性质、直角三角形的边的关系以及余角的概念，既需要掌握基本的作图方法，又要能运用几何性质进行推理和比较，有助于提升学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系。
(1)如图 1，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1 与∠2 的数量关系是
(2)如图 2，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1 与∠2 的数量关系是
（3）由（1）（2）你得出的结论是如果
（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的 3 倍少 40°，求这两个角的度数。
(1)如图 1，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1 与∠2 的数量关系是
相等
。(2)如图 2，AB⊥DE，BC⊥EF，则∠1 与∠2 的数量关系是
互补
，请说明理由。（3）由（1）（2）你得出的结论是如果
一个角的两边与另一个角的两边分别垂直
，那么这两个角相等或互补
。（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的 3 倍少 40°，求这两个角的度数。
答案
12.解:(1)如图,
因为AB⊥DE,BC⊥EF,
所以∠EGB=90°,
∠EHB=90°,所以∠2+∠4=90°,
∠1+∠3=90°。
因为∠3=∠4,所以∠1=∠2。
故答案为相等。
(2)因为AB⊥DE,BC⊥EF,
所以∠EGB=90°,∠EHB=90°
因为∠1+∠2+∠EGB+∠EHB=360°,
所以∠1+∠2=180°。
故答案为互补。
(3)由(1)(2)的分析可得结论:如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。
故答案为:一个角的两边与另一个角的两边分别垂直;这两个角相等或互补。
(4)设另一个角的度数为α,则这个角的度数为3α −40°,
根据题意,可得α=3α−40°或α+3α−40°=180°,
解得α=20°或α=55°。
当α=20°时,3α−40°=20°;
当α=55°时,3α−40°=125°。
所以这两个角的度数为20°,20°或55°,125°。
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察图1，由已知的垂直关系可得两个直角，进而得到两组互余的角，再结合对顶角相等，利用同角的余角相等可推出∠1与∠2相等。
2. 第(2)问：图2中同样有两组垂直关系，得到两个直角，此时∠1、∠2与这两个直角构成四边形，根据四边形内角和为360°，可计算出∠1与∠2的和为180°，即互补。
3. 第(3)问：结合(1)(2)的两种情况，总结出一个角的两边与另一个角的两边分别垂直时，这两个角的数量关系。
4. 第(4)问：根据(3)的结论，分两个角相等或互补两种情况，设未知数列出方程求解即可。
【解析】
(1) 如图1，
因为$AB⊥DE$，$BC⊥EF$，
所以$∠ EGB=90°$，$∠ EHB=90°$，
所以$∠ 2+∠ 4=90°$，$∠ 1+∠ 3=90°$。
又因为$∠ 3=∠ 4$（对顶角相等），
所以$∠ 1=∠ 2$（同角的余角相等）。
(2) 如图2，
因为$AB⊥DE$，$BC⊥EF$，
所以$∠ EGB=90°$，$∠ EHB=90°$，
因为四边形$EGBH$的内角和为$360°$，即$∠ 1+∠ 2+∠ EGB+∠ EHB=360°$，
所以$∠ 1+∠ 2=360° - 90° - 90°=180°$，即$∠ 1$与$∠ 2$互补。
(3) 由(1)(2)的结论可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。
(4) 设另一个角的度数为$α$，则这个角的度数为$3α - 40°$，
根据题意分两种情况：
① 当两个角相等时：$α=3α - 40°$，
解得$α=20°$，此时$3α - 40°=20°$；
② 当两个角互补时：$α+3α - 40°=180°$，
解得$α=55°$，此时$3α - 40°=125°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ 1=∠ 2}$（或相等）
(2) $\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=180°}$（或互补）
(3) 一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补
(4) 这两个角的度数为$\boldsymbol{20°,20°}$或$\boldsymbol{55°,125°}$
【知识点】
余角的性质；四边形内角和；一元一次方程的应用
【点评】
本题通过两种不同图形探索角的数量关系，需要运用分类讨论思想，结合几何性质与一元一次方程求解，既考查几何基础知识，又培养逻辑推理和方程求解能力，需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察图1，由已知的垂直关系可得两个直角，进而得到两组互余的角，再结合对顶角相等，利用同角的余角相等可推出∠1与∠2相等。
2. 第(2)问：图2中同样有两组垂直关系，得到两个直角，此时∠1、∠2与这两个直角构成四边形，根据四边形内角和为360°，可计算出∠1与∠2的和为180°，即互补。
3. 第(3)问：结合(1)(2)的两种情况，总结出一个角的两边与另一个角的两边分别垂直时，这两个角的数量关系。
4. 第(4)问：根据(3)的结论，分两个角相等或互补两种情况，设未知数列出方程求解即可。
【解析】
(1) 如图1，
因为$AB⊥DE$，$BC⊥EF$，
所以$∠ EGB=90°$，$∠ EHB=90°$，
所以$∠ 2+∠ 4=90°$，$∠ 1+∠ 3=90°$。
又因为$∠ 3=∠ 4$（对顶角相等），
所以$∠ 1=∠ 2$（同角的余角相等）。
(2) 如图2，
因为$AB⊥DE$，$BC⊥EF$，
所以$∠ EGB=90°$，$∠ EHB=90°$，
因为四边形$EGBH$的内角和为$360°$，即$∠ 1+∠ 2+∠ EGB+∠ EHB=360°$，
所以$∠ 1+∠ 2=360° - 90° - 90°=180°$，即$∠ 1$与$∠ 2$互补。
(3) 由(1)(2)的结论可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。
(4) 设另一个角的度数为$α$，则这个角的度数为$3α - 40°$，
根据题意分两种情况：
① 当两个角相等时：$α=3α - 40°$，
解得$α=20°$，此时$3α - 40°=20°$；
② 当两个角互补时：$α+3α - 40°=180°$，
解得$α=55°$，此时$3α - 40°=125°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ 1=∠ 2}$（或相等）
(2) $\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=180°}$（或互补）
(3) 一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补
(4) 这两个角的度数为$\boldsymbol{20°,20°}$或$\boldsymbol{55°,125°}$
【知识点】
余角的性质；四边形内角和；一元一次方程的应用
【点评】
本题通过两种不同图形探索角的数量关系，需要运用分类讨论思想，结合几何性质与一元一次方程求解，既考查几何基础知识，又培养逻辑推理和方程求解能力，需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
