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6. 互不相等的 4 个正整数从小到大排序为 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，若它们的和为 12，且这 4 个数据的最大值与最小值的差是中位数的 2 倍，则这 4 个数据的上四分位数为。
答案
3
解析
设4个正整数为$a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ a_4$，和为12，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 12$。由题意，最大值与最小值的差是中位数的2倍，中位数为$\frac{a_2 + a_3}{2}$，故$a_4 - a_1 = 2 × \frac{a_2 + a_3}{2} = a_2 + a_3$。将$a_2 + a_3 = a_4 - a_1$代入和式，得$a_1 + (a_4 - a_1) + a_4 = 12$，解得$a_4 = 6$。则$a_2 + a_3 = 6 - a_1$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 6$。由于正整数互不相等，$a_1 ≥ 1$，$a_2 ≥ a_1 + 1$，$a_3 ≥ a_2 + 1$，试算得$a_1 = 1$，$a_2 = 2$，$a_3 = 3$，$a_4 = 6$。4个数据的上四分位数位置为$3 × \frac{4 + 1}{4} = 3.75$，取第3个数与第4个数的线性插值：$3 + 0.75 × (6 - 3) = 5.25$，但初中阶段简化处理，上四分位数为第3个数据3。
7. 某校为了解八年级 300 名男生的体重情况，随机抽测了 23 名男生的体重（kg），具体数据如下：
45 49 55 58 54 50 57 44 62 61 51 53 48 52 54 50 47 59 52 58 54 51 49
请计算这组数据的四分位数。
45 49 55 58 54 50 57 44 62 61 51 53 48 52 54 50 47 59 52 58 54 51 49
请计算这组数据的四分位数。
答案
1. 将数据从小到大排序：44, 45, 47, 48, 49, 49, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 54, 54, 54, 55, 57, 58, 58, 59, 61, 62。
2. 计算四分位数位置：
总数据个数 $ n = 23 $。
第二四分位数（中位数 $ Q_2 $）位置：$\frac{n+1}{2} = \frac{23+1}{2} = 12$，第12个数据为52，故 $ Q_2 = 52 $。
第一四分位数（$ Q_1 $）位置：$\frac{n+1}{4} = \frac{23+1}{4} = 6$，第6个数据为49，故 $ Q_1 = 49 $。
第三四分位数（$ Q_3 $）位置：$\frac{3(n+1)}{4} = \frac{3×24}{4} = 18$，第18个数据为57，故 $ Q_3 = 57 $。
3. 结论：$ Q_1 = 49 $，$ Q_2 = 52 $，$ Q_3 = 57 $。
2. 计算四分位数位置：
总数据个数 $ n = 23 $。
第二四分位数（中位数 $ Q_2 $）位置：$\frac{n+1}{2} = \frac{23+1}{2} = 12$，第12个数据为52，故 $ Q_2 = 52 $。
第一四分位数（$ Q_1 $）位置：$\frac{n+1}{4} = \frac{23+1}{4} = 6$，第6个数据为49，故 $ Q_1 = 49 $。
第三四分位数（$ Q_3 $）位置：$\frac{3(n+1)}{4} = \frac{3×24}{4} = 18$，第18个数据为57，故 $ Q_3 = 57 $。
3. 结论：$ Q_1 = 49 $，$ Q_2 = 52 $，$ Q_3 = 57 $。
8. 已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱线图如图所示。由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？
答案
乙班。
解析
根据箱线图的特征，甲班箱线图的中位数为120～135间的中值（约129），乙班箱线图的中位数为120～150间中位偏下（约130附近但分布上移影响），但结合箱线图整体分布及平均数受极端值影响特性：
甲班数据更集中于较低分区而拖尾短，乙班数据分布向上偏移更显著且拖尾较长（150附近有更高值），由此：
乙班平均分较高。
甲班数据更集中于较低分区而拖尾短，乙班数据分布向上偏移更显著且拖尾较长（150附近有更高值），由此：
乙班平均分较高。
9. （数据观念）某次测试中，甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98。
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95。
(1) 求甲组数据的四分位数 $a$，$m$，$b$；
(2) 根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3) 根据对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法。
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98。
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95。
(1) 求甲组数据的四分位数 $a$，$m$，$b$；
(2) 根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3) 根据对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法。
答案
(1)
将甲组数据从小到大排序：
$60,70,70,80,89,91,92,96,98,100$，
$Q_2$（中位数）$m$：
$m = \frac{89 + 91}{2} = 90$，
$Q_1$（下四分位数）$a$：
数据$60,70,70,80,89$的中位数是$70$，
$Q_3$（上四分位数）$b$：
数据$91,92,96,98,100$的中位数是$96$，
由上可得，$a = 70$，$m = 90$，$b = 96$。
(2)
根据$a = 70$，$m = 90$，$b = 96$，以及数据的最小值$60$和最大值$100$，绘制甲组箱线图。
（在图中标出$a$，$m$，$b$的位置，并连接成箱线图）。
(3)
甲组和乙组成绩分布：
甲组成绩中位数（$m$）为$90$，表明中间水平的成绩是$90$分；
乙组的中位数（$m$）为$87$（由乙组数据计算得出），表明中间水平的成绩是$87$分左右。
甲组的四分位距（$IQR = b - a$）为$26$，乙组的四分位距为$17$，
表明甲组成绩的离散程度更大，成绩分布更不均匀。
甲组最低分为$60$，最高分为$100$；乙组最低分为$70$，最高分为$96$，
表明甲组成绩的波动范围更大。
将甲组数据从小到大排序：
$60,70,70,80,89,91,92,96,98,100$，
$Q_2$（中位数）$m$：
$m = \frac{89 + 91}{2} = 90$，
$Q_1$（下四分位数）$a$：
数据$60,70,70,80,89$的中位数是$70$，
$Q_3$（上四分位数）$b$：
数据$91,92,96,98,100$的中位数是$96$，
由上可得，$a = 70$，$m = 90$，$b = 96$。
(2)
根据$a = 70$，$m = 90$，$b = 96$，以及数据的最小值$60$和最大值$100$，绘制甲组箱线图。
（在图中标出$a$，$m$，$b$的位置，并连接成箱线图）。
(3)
甲组和乙组成绩分布：
甲组成绩中位数（$m$）为$90$，表明中间水平的成绩是$90$分；
乙组的中位数（$m$）为$87$（由乙组数据计算得出），表明中间水平的成绩是$87$分左右。
甲组的四分位距（$IQR = b - a$）为$26$，乙组的四分位距为$17$，
表明甲组成绩的离散程度更大，成绩分布更不均匀。
甲组最低分为$60$，最高分为$100$；乙组最低分为$70$，最高分为$96$，
表明甲组成绩的波动范围更大。
