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1. 下列选项中，是一元一次不等式的是()
A.$4x + 3$
B.$5x^{2}-3＞1$
C.$x - 3y＞1$
D.$5 - x≤1$
A.$4x + 3$
B.$5x^{2}-3＞1$
C.$x - 3y＞1$
D.$5 - x≤1$
答案
D
解析
一元一次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
A 选项 $4x + 3$ 不是一个不等式；
B 选项 $5x^{2} - 3 ＞ 1$ 中未知数的次数为 2；
C 选项 $x - 3y ＞ 1$ 含有两个未知数；
D 选项 $5 - x ≤ 1$ 符合一元一次不等式的定义。
A 选项 $4x + 3$ 不是一个不等式；
B 选项 $5x^{2} - 3 ＞ 1$ 中未知数的次数为 2；
C 选项 $x - 3y ＞ 1$ 含有两个未知数；
D 选项 $5 - x ≤ 1$ 符合一元一次不等式的定义。
2. 若 $a＞b$，则下列不等式中正确的是()
A.$-3a＞-3b$
B.$a + 3＞b + 3$
C.$3 - a＞3 - b$
D.$\frac{a}{3}＜\frac{b}{3}$
A.$-3a＞-3b$
B.$a + 3＞b + 3$
C.$3 - a＞3 - b$
D.$\frac{a}{3}＜\frac{b}{3}$
答案
B
解析
对于选项A，不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变，由于$a＞b$，故$-3a＜-3b$，所以A错误；
对于选项B，根据不等式性质，在$a＞b$的基础上两边同时加3，不等号方向不变，即$a+3＞b+3$，所以B正确；
对于选项C，由$a＞b$，得到$-a＜-b$，两边同时加3，不等号方向不变，所以$3-a＜3-b$，C错误；
对于选项D，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，由于$a＞b$，所以$\frac{a}{3}＞\frac{b}{3}$，D错误。
对于选项B，根据不等式性质，在$a＞b$的基础上两边同时加3，不等号方向不变，即$a+3＞b+3$，所以B正确；
对于选项C，由$a＞b$，得到$-a＜-b$，两边同时加3，不等号方向不变，所以$3-a＜3-b$，C错误；
对于选项D，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，由于$a＞b$，所以$\frac{a}{3}＞\frac{b}{3}$，D错误。
3. 若不等式组$\begin{cases}2x - 6＞0,\\x≤ m\end{cases}$无解，则 $m$ 的取值范围是( )
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m≥3$
D.$m＞3$
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m≥3$
D.$m＞3$
答案
A
解析
首先解第一个不等式 $2x - 6 ＞ 0$，得 $x ＞ 3$。
第二个不等式为 $x ≤ m$。
若不等式组无解，则需满足 $m ≤ 3$，因为此时 $x ＞ 3$ 和 $x ≤ m$ 无交集。
4. 不等式组$\begin{cases}5x + 2＞3(x - 1),\frac{1}{2}x - 1≤8-\frac{5}{2}x\end{cases}$的所有非负整数解的和是( )
A.3
B.7
C.6
D.0
A.3
B.7
C.6
D.0
答案
C
解析
解不等式$5x + 2＞3(x - 1)$，得$5x + 2＞3x - 3$，$5x - 3x＞-3 - 2$，$2x＞-5$，$x＞-2.5$；解不等式$\frac{1}{2}x - 1≤8 - \frac{5}{2}x$，得$\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x≤8 + 1$，$3x≤9$，$x≤3$。所以不等式组的解集为$-2.5＜x≤3$，非负整数解为0，1，2，3，和为$0 + 1 + 2 + 3 = 6$。
5. 请写出一个关于 $x$ 的一元一次不等式，使$-2$，$3$都是它的解：.
答案
x ＜ 4（答案不唯一）
6. 如果$\vert x - 2\vert=x - 2$，那么 $x$ 的取值范围是.
答案
根据绝对值的定义，若$\vert x - 2\vert=x - 2$，则$x - 2≥0$（因为绝对值的结果总是非负的，即$\vert x - 2\vert≥0$，所以$x - 2$必须非负）。
解这个不等式，得到$x≥2$。
故答案为$x≥ 2$。
解这个不等式，得到$x≥2$。
故答案为$x≥ 2$。
7. 已知关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}3(x - a)≥2(x + 1),\frac{2x - 1}{3}≤2-\frac{x}{2}\end{cases}$有 $4$ 个整数解，则 $a$ 的取值范围是 ______ .
答案
$-\frac{4}{3} ＜ a ≤ -1$
解析
解不等式组：
1. 解$3(x - a)≥2(x + 1)$：
$3x - 3a ≥ 2x + 2$
$3x - 2x ≥ 2 + 3a$
$x ≥ 3a + 2$
2. 解$\frac{2x - 1}{3}≤2-\frac{x}{2}$：
两边同乘6得$2(2x - 1)≤12 - 3x$
$4x - 2 ≤ 12 - 3x$
$4x + 3x ≤ 12 + 2$
$7x ≤ 14$
$x ≤ 2$
不等式组解集为$3a + 2 ≤ x ≤ 2$，有4个整数解：2，1，0，-1。
则需满足$-2 ＜ 3a + 2 ≤ -1$
$-4 ＜ 3a ≤ -3$
$-\frac{4}{3} ＜ a ≤ -1$
1. 解$3(x - a)≥2(x + 1)$：
$3x - 3a ≥ 2x + 2$
$3x - 2x ≥ 2 + 3a$
$x ≥ 3a + 2$
2. 解$\frac{2x - 1}{3}≤2-\frac{x}{2}$：
两边同乘6得$2(2x - 1)≤12 - 3x$
$4x - 2 ≤ 12 - 3x$
$4x + 3x ≤ 12 + 2$
$7x ≤ 14$
$x ≤ 2$
不等式组解集为$3a + 2 ≤ x ≤ 2$，有4个整数解：2，1，0，-1。
则需满足$-2 ＜ 3a + 2 ≤ -1$
$-4 ＜ 3a ≤ -3$
$-\frac{4}{3} ＜ a ≤ -1$
8. 某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满 $300$ 元或超过 $300$ 元可享受打折优惠.一名学生为班级购买活动奖品，准备买 $6$ 本笔记本和若干支钢笔.已知笔记本每本 $15$ 元，钢笔每支 $8$ 元，他至少还需购买支钢笔才能打折.
答案
设该学生需要购买$x$支钢笔，根据题意得：
$15 × 6 + 8x ≥ 300$
$90 + 8x ≥ 300$
$8x ≥ 210$
$x ≥ 26.25$
由于$x$必须为整数，所以最小整数解为 27。
故答案为：27。
$15 × 6 + 8x ≥ 300$
$90 + 8x ≥ 300$
$8x ≥ 210$
$x ≥ 26.25$
由于$x$必须为整数，所以最小整数解为 27。
故答案为：27。
9. 解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：
(1) $\frac{x - 3}{2}-\frac{3x - 2}{3}≤-1$；
(2) $\frac{2x - 1}{3}-\frac{9x + 2}{6}≤1$.
(1) $\frac{x - 3}{2}-\frac{3x - 2}{3}≤-1$；
(2) $\frac{2x - 1}{3}-\frac{9x + 2}{6}≤1$.
答案
(2)去分母，得$2(2x-1)-(9x+2)≤6$
去括号，得$4x-2-9x-2≤6$
移项，得$4x-9x≤6+2+2$
合并同类项，得$-5x≤10$
系数化为1，得$x≥-2$
数轴表示：（画一条数轴，标出原点、正方向和单位长度，在-2处画实心圆点，向右画线）
去括号，得$4x-2-9x-2≤6$
移项，得$4x-9x≤6+2+2$
合并同类项，得$-5x≤10$
系数化为1，得$x≥-2$
数轴表示：（画一条数轴，标出原点、正方向和单位长度，在-2处画实心圆点，向右画线）
