1. (2023·鼓楼区二模)如图，D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，$BD = \sqrt{3}$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，$S_{\triangle BCD}=\frac{9}{2}\sqrt{3}$，若反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图像经过C，D两点，则k的值为__________.

$-12\sqrt{3}$

2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = mx + n(m \neq 0)$的图像与y轴交于点C，与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图像交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，$BM \perp x$轴，垂足为M，$BM = OM = 2$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OB，MC，求四边形MBOC的面积.

解：(1) $\because BM = OM = 2$，$\therefore$点$B$的坐标为$(-2, -2)$。
$\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图像经过点$B$，
则$-2 = \frac{k}{-2}$，解得$k = 4$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y = \frac{4}{x}$。

$\because$点$A$的纵坐标是$4$，$\therefore 4 = \frac{4}{x}$，解得$x = 1$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(1, 4)$。
$\because$一次函数$y = mx + n(m \neq 0)$的图像过点$A(1, 4)$，$B(-2, -2)$，
$\therefore \begin{cases}m + n = 4 \\ -2m + n = -2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2 \\ n = 2 \end{cases}$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y = 2x + 2$。
(2) $\because y = 2x + 2$与$y$轴交于点$C$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0, 2)$。
$\because$点$B(-2, -2)$，$BM \perp x$轴，
$\therefore M(-2, 0)$，$MB // OC$，$\therefore OC = MB = 2$，
$\therefore$四边形$MBOC$是平行四边形，
$\therefore S_{四边形MBOC} = OM \cdot OC = 4$。

3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，对角线$BD // x$轴，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像经过矩形对角线的交点E，若点A(1,0)，D(0,2)，则k的值为________.

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4. (2023·邗江区期末)在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数$y_1 = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图像与正比例函数$y_2 = mx(m ＞ 0)$的图像交于点A，C，与正比例函数$y_3 = nx(n ＞ 0)$的图像交于点B，D，设点A，D的横坐标分别为s，t(0 ＜ s ＜ t).
(1)如图①，若点A坐标为(2,4).
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积.
(2)如图②，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值.

解：(1) ①把$A(2, 4)$代入$y_2 = mx$，得$4 = 2m$，$\therefore m = 2$。
把$A(2, 4)$代入$y_1 = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$，得$4 = \frac{k}{2}$，$\therefore k = 8$。
故$m = 2$，$k = 8$。
②如答图①，延长$DA$交$y$轴于点$K$。
$\because$反比例函数$y = \frac{8}{x}$的图像过点$D$，点$D$的横坐标为$4$，
$\therefore D(4, 2)$。
设直线$AD$的函数表达式为$y = ax + b$，
则$\begin{cases}2a + b = 4 \\ 4a + b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 6 \end{cases}$，
$\therefore$直线$AD$的函数表达式为$y = -x + 6$，
$\therefore K(0, 6)$，$\therefore OK = 6$，
$\therefore S_{\triangle AOD} = S_{\triangle DOK} - S_{\triangle AOK} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 - \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$，
故$\triangle AOD$的面积为$6$。

(2) 如答图②，由题意，得$A(s, ms)$，$D(t, nt)$，
$\because$反比例函数$y_1 = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图像经过点$A$，$D$，
$\therefore k = ms^2 = nt^2$ ①。
$\because$四边形$ABCD$为矩形，$\therefore AC = BD$，$\therefore OA = OD$，
$\therefore s^2 + m^2s^2 = t^2 + n^2t^2$ ②，
由①②联立，得$(1 + m^2)\frac{n}{m}t^2 = (1 + n^2)t^2$，
$\because t \neq 0$，$\therefore (1 + m^2)n = (1 + n^2)m$，
$\therefore (m - n)(mn - 1) = 0$，$\because m \neq n$，$\therefore 1 - mn = 0$，即$mn = 1$。