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例 分解因式：
(1) $(x - 1)(x - 3)+1$； (2) $2(a - b)^3+8(b - a)$。
(1) $(x - 1)(x - 3)+1$； (2) $2(a - b)^3+8(b - a)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&(x - 1)(x - 3)+1\\=&x^{2}-3x - x + 3 + 1\\=&x^{2}-4x + 4\\=&(x - 2)^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&2(a - b)^3+8(b - a)\\=&2(a - b)^3-8(a - b)\\=&2(a - b)[(a - b)^2 - 4]\\=&2(a - b)(a - b + 2)(a - b - 2)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(x - 1)(x - 3)+1\\=&x^{2}-3x - x + 3 + 1\\=&x^{2}-4x + 4\\=&(x - 2)^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&2(a - b)^3+8(b - a)\\=&2(a - b)^3-8(a - b)\\=&2(a - b)[(a - b)^2 - 4]\\=&2(a - b)(a - b + 2)(a - b - 2)\end{aligned}$
(1) $ax - bx=$；
答案
$(a - b)x$
(2) $2a^3 - 8a=$；
答案
$2a(a + 2)(a - 2)$
解析
$2a^3 - 8a$
$=2a(a^2 - 4)$
$=2a(a + 2)(a - 2)$
$=2a(a^2 - 4)$
$=2a(a + 2)(a - 2)$
(3) $y^3+2y^2+y=$。
答案
$y(y+1)^2$
(1) 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是()。
A.$a^2 - b^2$
B.$a^2 - 2ab - b^2$
C.$a^2 - 2ab + 4b^2$
D.$a^2+ab + b^2$
A.$a^2 - b^2$
B.$a^2 - 2ab - b^2$
C.$a^2 - 2ab + 4b^2$
D.$a^2+ab + b^2$
答案
A
解析
A选项$a^2 - b^2$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，能用公式法因式分解；B选项$a^2 - 2ab - b^2$，$-b^2$符号为负，不符合完全平方公式；C选项$a^2 - 2ab + 4b^2$，$4b^2=(2b)^2$，但中间项应为$-4ab$才符合完全平方公式；D选项$a^2+ab + b^2$，中间项应为$2ab$才符合完全平方公式。综上，能用公式法因式分解的是A。
(2) $3xy^2 - 6x^2y+3x^3y^2 - 18xy$ 分解因式时，应提取的公因式是()。
A.$xy$
B.$3xy$
C.$3xy^2$
D.$3x^2y$
A.$xy$
B.$3xy$
C.$3xy^2$
D.$3x^2y$
答案
B
解析
首先，观察多项式$3xy^2 - 6x^2y + 3x^3y^2 - 18xy$的各项，考虑各项的系数，数字系数分别是$3, -6, 3, -18$，它们的最大公约数是$3$；
对于字母部分，考虑$x$的次数，$x$的最低次次数是$1$；考虑$y$的次数，$y$的最低次次数是$1$，所以应提取的公因式是$3xy$。
对于字母部分，考虑$x$的次数，$x$的最低次次数是$1$；考虑$y$的次数，$y$的最低次次数是$1$，所以应提取的公因式是$3xy$。
(3) $4x^2 - 16$ 分解因式的结果是()。
A.$2(2x^2 - 8)$
B.$4(x^2 - 4)$
C.$(2x + 4)(2x - 4)$
D.$4(x + 2)(x - 2)$
A.$2(2x^2 - 8)$
B.$4(x^2 - 4)$
C.$(2x + 4)(2x - 4)$
D.$4(x + 2)(x - 2)$
答案
D
解析
本题可先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解。
步骤一：提取公因式
观察式子$4x^2 - 16$，每一项都有公因式$4$，提取公因式$4$后可得：$4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4)$。
步骤二：利用平方差公式继续分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对于$x^2 - 4$，可将其变形为$x^2 - 2^2$，此时$a = x$，$b = 2$，则$x^2 - 4=x^2 - 2^2=(x + 2)(x - 2)$。
将其代入上式可得：$4(x^2 - 4)=4(x + 2)(x - 2)$。
步骤一：提取公因式
观察式子$4x^2 - 16$，每一项都有公因式$4$，提取公因式$4$后可得：$4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4)$。
步骤二：利用平方差公式继续分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对于$x^2 - 4$，可将其变形为$x^2 - 2^2$，此时$a = x$，$b = 2$，则$x^2 - 4=x^2 - 2^2=(x + 2)(x - 2)$。
将其代入上式可得：$4(x^2 - 4)=4(x + 2)(x - 2)$。
3. 把下列各式分解因式：
(1) $a^2b^2 - 1$； (2) $7x^2 - 63$；
(3) $x^2y - 2xy^2+y^3$； (4) $a^2 - ab+\frac{1}{4}b^2$；
(5) $(x + y)^2 - 14(x + y)+49$； (6) $(a + b)^2+4(a + b + 1)$。
(1) $a^2b^2 - 1$； (2) $7x^2 - 63$；
(3) $x^2y - 2xy^2+y^3$； (4) $a^2 - ab+\frac{1}{4}b^2$；
(5) $(x + y)^2 - 14(x + y)+49$； (6) $(a + b)^2+4(a + b + 1)$。
答案
(1) $(ab + 1)(ab - 1)$；
(2) $7(x + 3)(x - 3)$；
(3) $y(x - y)^2$；
(4) $(a - \frac{1}{2}b)^2$；
(5) $(x + y - 7)^2$；
(6) $(a + b + 2)^2$。
(2) $7(x + 3)(x - 3)$；
(3) $y(x - y)^2$；
(4) $(a - \frac{1}{2}b)^2$；
(5) $(x + y - 7)^2$；
(6) $(a + b + 2)^2$。
解析
(1) $a^2b^2 - 1$：利用平方差公式，$a^2b^2 - 1 = (ab)^2 - 1^2 = (ab + 1)(ab - 1)$。
(2) $7x^2 - 63$：先提取公因式7，得到$7(x^2 - 9)$，再利用平方差公式，$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$，所以$7x^2 - 63 = 7(x + 3)(x - 3)$。
(3) $x^2y - 2xy^2 + y^3$：先提取公因式$y$，得到$y(x^2 - 2xy + y^2)$，再利用完全平方公式，$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$，所以$x^2y - 2xy^2 + y^3 = y(x - y)^2$。
(4) $a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$：利用完全平方公式，$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 = (a - \frac{1}{2}b)^2$。
(5) $(x + y)^2 - 14(x + y) + 49$：利用完全平方公式，$(x + y)^2 - 14(x + y) + 49 = (x + y - 7)^2$。
(6) $(a + b)^2 + 4(a + b + 1)$：先展开并整理，得到$(a + b)^2 + 4(a + b) + 4$，再利用完全平方公式，$(a + b)^2 + 4(a + b) + 4 = (a + b + 2)^2$。
(2) $7x^2 - 63$：先提取公因式7，得到$7(x^2 - 9)$，再利用平方差公式，$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$，所以$7x^2 - 63 = 7(x + 3)(x - 3)$。
(3) $x^2y - 2xy^2 + y^3$：先提取公因式$y$，得到$y(x^2 - 2xy + y^2)$，再利用完全平方公式，$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$，所以$x^2y - 2xy^2 + y^3 = y(x - y)^2$。
(4) $a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$：利用完全平方公式，$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 = (a - \frac{1}{2}b)^2$。
(5) $(x + y)^2 - 14(x + y) + 49$：利用完全平方公式，$(x + y)^2 - 14(x + y) + 49 = (x + y - 7)^2$。
(6) $(a + b)^2 + 4(a + b + 1)$：先展开并整理，得到$(a + b)^2 + 4(a + b) + 4$，再利用完全平方公式，$(a + b)^2 + 4(a + b) + 4 = (a + b + 2)^2$。
