4. 若$2x^{2} + 5x + 1 = a(x + 1)^{2} + b(x + 1) + c$，那么$a$，$b$，$c$应为()

A.$a = 2$，$b = - 2$，$c = - 1$
B.$a = 2$，$b = 2$，$c = - 1$
C.$a = 2$，$b = 1$，$c = - 2$
D.$a = 2$，$b = - 1$，$c = 2$

4. C

【分析】
这道题考查多项式恒等的性质，解题思路是先将等式右边的整式展开并整理成标准的二次三项式形式，再根据等式两边同类项的系数必须相等这一原则，分别列出关于a、b、c的方程，最后解方程求出a、b、c的值，再对应选项得出答案。具体步骤为：先展开右边的完全平方式，再合并同类项，然后对比左右两边二次项、一次项、常数项的系数，建立方程组求解。
【解析】
首先将等式右边的式子展开并整理：
$\begin{aligned}a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c&=a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c\\&=ax^2 + 2ax + a + bx + b + c\\&=ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)\end{aligned}$
已知等式左边为$2x^2 + 5x + 1$，根据多项式恒等时对应同类项系数相等，可得：
1. 二次项系数：$a = 2$
2. 一次项系数：$2a + b = 5$，将$a=2$代入得：$2×2 + b = 5$，解得$b = 1$
3. 常数项：$a + b + c = 1$，将$a=2$，$b=1$代入得：$2 + 1 + c = 1$，解得$c = -2$
因此$a=2$，$b=1$，$c=-2$。
【答案】
C
【知识点】
多项式恒等定理、整式展开运算、对应系数相等
【点评】
本题属于整式变形的基础题，核心是利用多项式恒等的性质，通过展开整式、对比系数建立方程求解，既考查了整式的乘法运算能力，也考查了方程思想的应用，只要熟练掌握整式展开和系数对应关系，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8

5. 若$6x^{2} - 19x + 15 = (ax + b)(cx + d)$，则$ac + bd$等于()

A.$36$
B.$15$
C.$19$
D.$21$

5. D

【分析】
要解决这道题，我们可以利用因式分解与整式乘法的互逆关系思考：先将右边的两个一次式相乘展开，再根据等式两边多项式对应项系数相等的性质，找到$ac$和$bd$的值，最后将两者相加即可得到结果。具体来说，展开$(ax+b)(cx+d)$后，与左边的$6x^2 - 19x + 15$对比，二次项系数对应相等可得$ac$的值，常数项对应相等可得$bd$的值，两者相加就是所求的$ac+bd$。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则，将$(ax+b)(cx+d)$展开：
$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$
已知$6x^2 - 19x + 15 = (ax+b)(cx+d)$，根据多项式相等的条件，对应项的系数相等：
二次项系数：$ac = 6$
常数项：$bd = 15$
因此，$ac + bd = 6 + 15 = 21$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，多项式相等的条件
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，核心是利用多项式相等时对应项系数相等的性质求解，解题思路清晰，只需掌握多项式乘法法则即可快速得出答案，有助于巩固整式乘法与因式分解的基础知识点。
【难度系数】
0.8

6. 若$a^{2} + a = 1$，则$(5 - a)(6 + a) =$.

6. $29$

【分析】
首先，我们需要将所求式子$(5 - a)(6 + a)$展开，转化为含有已知条件$a^2 + a$的形式，再代入计算。具体思路是：先利用多项式乘多项式的法则展开式子，合并同类项后，将式子变形为可直接代入$a^2 + a = 1$的形式，最后代入计算得出结果。
【解析】
1. 展开多项式：
$\begin{aligned}(5 - a)(6 + a)&=5×6 + 5× a - a×6 - a× a\\&=30 + 5a - 6a - a^2\\&=30 - a - a^2\end{aligned}$
2. 变形式子，凑出已知条件：
$30 - a - a^2 = 30 - (a^2 + a)$
3. 代入已知条件$a^2 + a = 1$：
$30 - (a^2 + a) = 30 - 1 = 29$
【答案】
$29$
【知识点】
多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题考查多项式乘法运算与整体代入思想的结合，解题关键是通过展开变形将所求式子转化为含已知条件的形式，无需单独求解$a$的值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

7. 当$k =$时，多项式$x - 1$与$2 - kx$的乘积不含一次项.

7. $-2$

【分析】
要解决这个问题，我们的思路是：首先利用多项式乘法法则将两个多项式相乘并展开合并同类项，然后根据“乘积不含一次项”的核心条件——一次项的系数为0，建立关于k的方程，最后解方程求出k的值。具体步骤为：先展开乘积，定位一次项并确定其系数，令系数等于0，解出k。
【解析】
首先计算多项式$x - 1$与$2 - kx$的乘积：
$\begin{aligned}(x - 1)(2 - kx)&=x·2 + x·(-kx) - 1·2 - 1·(-kx)\\&=2x - kx^2 - 2 + kx\\&=-kx^2 + (2 + k)x - 2\end{aligned}$
因为乘积不含一次项，所以一次项的系数必须为0，即：
$2 + k = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
多项式乘多项式、一次项系数为零
【点评】
本题主要考查多项式乘法的运算规则以及对“不含某项”这一条件的理解，解题关键是明确不含某一项意味着该项的系数为0，通过建立方程求解参数，属于基础题型，需要熟练掌握多项式乘法的展开方法。
【难度系数】
0.7

8. 如果三角形的底边为$(3a + 2b)$，高为$(9a^{2} - 6ab)$，则面积为.

8. $\dfrac{27}{2}a^{3}-6ab^{2}$

【分析】
要计算该三角形的面积，首先需明确三角形面积公式：面积=½×底×高。题目已给出底为$(3a + 2b)$，高为$(9a^{2} - 6ab)$，我们只需将底和高代入面积公式，再运用多项式乘多项式的法则展开式子，最后合并同类项并化简，即可得到结果。
【解析】
解：根据三角形面积公式，面积$S=\frac{1}{2}×$底$×$高
将底$(3a + 2b)$，高$(9a^{2} - 6ab)$代入公式得：
$S=\frac{1}{2}(3a + 2b)(9a^{2} - 6ab)$
先计算多项式乘法：
$(3a + 2b)(9a^{2} - 6ab)$
$=3a×9a^{2} + 3a×(-6ab) + 2b×9a^{2} + 2b×(-6ab)$
$=27a^{3} - 18a^{2}b + 18a^{2}b - 12ab^{2}$
合并同类项后得：$27a^{3} - 12ab^{2}$
再乘以$\frac{1}{2}$：
$S=\frac{1}{2}(27a^{3} - 12ab^{2})=\frac{27}{2}a^{3} - 6ab^{2}$
【答案】
$\dfrac{27}{2}a^{3}-6ab^{2}$
【知识点】
三角形面积公式；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题结合三角形面积公式考查整式的乘法运算，解题核心是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，计算时需注意同类项的合并，同时不要遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，避免计算失误。
【难度系数】
0.6

9. 如图所示，长方形花园$ABCD$中，$AB = a$，$AD = b$，花园中建有一条长方形道路$LMPQ$及一条平行四边形道路$RSTK$，若$LM = RS = c$，则花园中可绿化部分的面积为.

9. $ab - bc - ac + c^{2}$

【分析】
要计算花园中可绿化部分的面积，可通过两种思路求解：
思路一：利用图形平移，将分散的绿化区域拼接成一个完整的长方形。观察图形可知，两条道路的宽度均为$c$，平移后新长方形的长为原长方形的长减去道路宽度$c$，即$b - c$，宽为原长方形的宽减去道路宽度$c$，即$a - c$，再根据长方形面积公式计算即可。
思路二：用长方形花园的总面积减去两条道路的面积，注意两条道路重叠的部分（边长为$c$的正方形）被重复减去了一次，所以需要加上重叠部分的面积，避免计算错误。
【解析】
方法一：平移法
将可绿化部分向中间平移，拼接成一个长为$b - c$，宽为$a - c$的长方形。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得：
$S=(a - c)(b - c)$
展开整式：
$S=ab - ac - bc + c^{2}$
方法二：面积相减法
长方形花园$ABCD$的面积为：$S_{ABCD}=ab$
长方形道路$LMPQ$的面积为：$S_{LMPQ}=ac$
平行四边形道路$RSTK$的面积为：$S_{RSTK}=bc$
两条道路重叠部分是边长为$c$的正方形，面积为：$S_{重叠}=c^{2}$
则可绿化部分面积为：
$S = S_{ABCD} - S_{LMPQ} - S_{RSTK} + S_{重叠}$
代入得：
$S=ab - ac - bc + c^{2}$
【答案】
$ab - bc - ac + c^{2}$
【知识点】
长方形面积公式，平行四边形面积公式，图形平移
【点评】
本题主要考查图形面积的计算，通过平移将不规则的绿化区域转化为规则长方形，体现了转化思想；同时在使用面积相减法时，需注意重叠部分的重复扣除问题，培养严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6

10. 计算：
(1) $(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$；
(2) $(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$.

10. (1)$a^{3}+b^{3}$ (2)$a^{3}-b^{3}$

【分析】
这两道题属于多项式乘多项式的运算，解题核心是运用多项式乘法法则：将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，最后合并同类项。对于（1），把$(a+b)$中的$a$和$b$依次乘$(a^2 - ab + b^2)$的每一项，再合并同类项；对于（2），把$(a-b)$中的$a$和$-b$依次乘$(a^2 + ab + b^2)$的每一项，再合并同类项。计算中会发现中间同类项相互抵消，最终得到简洁结果，这也是立方和与立方差公式的推导过程。
【解析】
(1) 计算$(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$：
$\begin{aligned}原式&=a(a^{2} - ab + b^{2}) + b(a^{2} - ab + b^{2})\\&=a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3}\\&=a^{3} + (-a^{2}b + a^{2}b) + (ab^{2} - ab^{2}) + b^{3}\\&=a^{3} + 0 + 0 + b^{3}\\&=a^{3}+b^{3}\end{aligned}$
(2) 计算$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$：
$\begin{aligned}原式&=a(a^{2} + ab + b^{2}) - b(a^{2} + ab + b^{2})\\&=a^{3} + a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b - ab^{2} - b^{3}\\&=a^{3} + (a^{2}b - a^{2}b) + (ab^{2} - ab^{2}) - b^{3}\\&=a^{3} + 0 + 0 - b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^{3}+b^{3}$；(2) $a^{3}-b^{3}$
【知识点】
1. 多项式乘多项式法则
2. 立方和公式
3. 立方差公式
【点评】
本题通过多项式乘法推导了立方和与立方差公式，既巩固了基础的多项式运算方法，也让学生理解公式的来源。后续遇到类似结构的多项式乘法时，可直接运用这两个公式简化计算，提升运算效率。
【难度系数】
0.8

11. 如图，正方形卡片$A$类、$B$类和长方形卡片$C$类各有若干张，如果要拼成一个长为$a + 2b$，宽为$a + b$的大长方形，则需要$A$，$B$，$C$类卡片各多少张？

11. 解：根据长乘宽表示出大长方形的面积
$(a + 2b)(a + b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}$
故需要$A$类$1$张，$B$类$2$张，$C$类$3$张。

【分析】
要解决这个问题，我们可以从面积的角度入手：大长方形的面积等于所有用来拼接的卡片面积之和。首先计算长为$a + 2b$、宽为$a + b$的大长方形的面积，再将面积展开为多项式形式；然后对比A类（面积为$a^2$）、B类（面积为$b^2$）、C类（面积为$ab$）卡片的面积，多项式中各项的系数就是对应卡片需要的张数。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：
根据长方形面积公式，大长方形面积为长×宽，即：
$(a + 2b)(a + b)$
2. 利用多项式乘多项式法则展开：
根据多项式乘法法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，展开得：
$\begin{aligned}(a + 2b)(a + b)&=a· a + a· b + 2b· a + 2b· b\\&=a^2 + ab + 2ab + 2b^2\\&=a^2 + 3ab + 2b^2\end{aligned}$
3. 对比卡片面积确定张数：
A类卡片面积为$a^2$，对应展开式中$a^2$的系数1，故需要1张；
B类卡片面积为$b^2$，对应展开式中$b^2$的系数2，故需要2张；
C类卡片面积为$ab$，对应展开式中$ab$的系数3，故需要3张。
【答案】
需要A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张。
【知识点】
多项式乘多项式、整式乘法的几何意义
【点评】
本题通过几何图形拼接的情境，将代数运算与几何面积结合，考查了多项式乘法的实际应用，需要理解整式乘法与图形面积的对应关系，掌握多项式乘多项式的展开法则，是一道典型的数形结合基础题。
【难度系数】
0.8

先阅读，再填空.
$(x + 5)(x + 6) = x^{2} + 11x + 30$
$(x - 5)(x - 6) = x^{2} - 11x + 30$
$(x - 5)(x + 6) = x^{2} + x - 30$
$(x + 5)(x - 6) = x^{2} - x - 30$
(1) 观察积中的一次项系数，常数项与等号左边两因式中的常数项有何关系？
(2) 用公式把上面的规律表示出来（用字母$a$，$b$，$c$表示）：.
(3) 根据规律，直接写出下列各式的结果.
① $(a + 99)(a - 100)$；
② $(y - 80)(y - 81)$.

(1)解：(1)一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积。
(2)$(a + b)(a + c)=a^{2}+(b + c)a + bc$
(3)①$(a + 99)(a - 100)=a^{2}-a - 9900$
②$(y - 80)(y - 81)=y^{2}-161y + 6480$

【分析】
1. 第(1)问：通过逐个对比题目给出的四个乘法式子，观察左边两因式的常数项与右边积的一次项系数、常数项的数值关系，归纳总结出规律。比如第一个式子中，左边常数项5和6，对应右边一次项系数11（5+6）、常数项30（5×6），其余式子同理，可发现共性关系。
2. 第(2)问：将第(1)问总结的规律用字母通用化，把式子中的x替换为a，两个因式的常数项替换为b和c，即可写出通用公式。
3. 第(3)问：直接套用第(2)问得出的公式，代入对应数值计算一次项系数（两常数项之和）和常数项（两常数项之积），快速得到结果。
【解析】
(1) 观察四个式子的对应关系：
积的一次项系数是等号左边两因式中常数项的和，积的常数项是等号左边两因式中常数项的积。
(2) 根据上述规律，用字母表示通用公式：
$(a + b)(a + c)=a^{2}+(b + c)a + bc$
(3) ① 计算$(a + 99)(a - 100)$：
令$b=99$，$c=-100$，一次项系数为$99+(-100)=-1$，常数项为$99×(-100)=-9900$，
因此结果为$a^{2}-a - 9900$。
② 计算$(y - 80)(y - 81)$：
令$b=-80$，$c=-81$，一次项系数为$(-80)+(-81)=-161$，常数项为$(-80)×(-81)=6480$，
因此结果为$y^{2}-161y + 6480$。
【答案】
(1) 一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积。
(2) $(a + b)(a + c)=a^{2}+(b + c)a + bc$
(3) ① $a^{2}-a - 9900$；② $y^{2}-161y + 6480$
【知识点】
多项式乘多项式、整式乘法规律
【点评】
本题通过具体实例引导学生归纳整式乘法的规律，既考察了归纳总结能力，又巩固了多项式乘法的知识，利用规律可简化同类整式乘法的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8