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【知识点 1】二次根式的乘法法则
一般地，二次根式的乘法法则是
$\sqrt{a}·\sqrt{b}=$________（ ）.
$\sqrt{6}×\sqrt{5}=$_______；$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}=$_______；$\sqrt{15}×2\sqrt{\frac{1}{3}}=$_______.
一般地，二次根式的乘法法则是
$\sqrt{a}·\sqrt{b}=$________（ ）.
$\sqrt{6}×\sqrt{5}=$_______；$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}=$_______；$\sqrt{15}×2\sqrt{\frac{1}{3}}=$_______.
答案
【知识点1】$\sqrt{ab}$ $a≥ 0$，$b≥ 0$ $\sqrt{30}$ $\sqrt{3}$ $2\sqrt{5}$
解析
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$：
- 对于$\sqrt{6}×\sqrt{5}$，这里$a = 6$，$b = 5$，则$\sqrt{6}×\sqrt{5}=\sqrt{6×5}=\sqrt{30}$。
- 对于$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}$，$a=\frac{1}{2}$，$b = 6$，则$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}=\sqrt{\frac{1}{2}×6}=\sqrt{3}$。
- 对于$\sqrt{15}×2\sqrt{\frac{1}{3}}$，先根据乘法交换律可得$2×\sqrt{15×\frac{1}{3}}=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{ab}$ $a≥0$，$b≥0$ $\sqrt{30}$ $\sqrt{3}$ $2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的直接应用，理解并牢记法则是解题关键。
【难度系数】
0.8
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$：
- 对于$\sqrt{6}×\sqrt{5}$，这里$a = 6$，$b = 5$，则$\sqrt{6}×\sqrt{5}=\sqrt{6×5}=\sqrt{30}$。
- 对于$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}$，$a=\frac{1}{2}$，$b = 6$，则$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}=\sqrt{\frac{1}{2}×6}=\sqrt{3}$。
- 对于$\sqrt{15}×2\sqrt{\frac{1}{3}}$，先根据乘法交换律可得$2×\sqrt{15×\frac{1}{3}}=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{ab}$ $a≥0$，$b≥0$ $\sqrt{30}$ $\sqrt{3}$ $2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的直接应用，理解并牢记法则是解题关键。
【难度系数】
0.8
【知识点 2】二次根式的化简
$\sqrt {ab}=$_________（ ）.
1. $\sqrt {8}=$_________；$\sqrt {5}× \sqrt {15}=$_________；$\sqrt {3}× \sqrt {27}=$_________.
2. $\sqrt {4a}=$_________；$\sqrt {8ab^{2}}=$_________；$\sqrt {\frac {1}{6}x}· \sqrt {12xy^{2}}=$_________.
$\sqrt {ab}=$_________（ ）.
1. $\sqrt {8}=$_________；$\sqrt {5}× \sqrt {15}=$_________；$\sqrt {3}× \sqrt {27}=$_________.
2. $\sqrt {4a}=$_________；$\sqrt {8ab^{2}}=$_________；$\sqrt {\frac {1}{6}x}· \sqrt {12xy^{2}}=$_________.
答案
【知识点2】$\sqrt{a}·\sqrt{b}$
$a≥0$，$b≥0$
1.$2\sqrt{2}$ $5\sqrt{3}$ $9$
2. $2\sqrt{a}$ $2b\sqrt{2a}$ $\sqrt{2}xy$
$a≥0$，$b≥0$
1.$2\sqrt{2}$ $5\sqrt{3}$ $9$
2. $2\sqrt{a}$ $2b\sqrt{2a}$ $\sqrt{2}xy$
解析
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$进行计算：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；
$\sqrt{5}×\sqrt{15}=\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$；
$\sqrt{3}×\sqrt{27}=\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9$；
$\sqrt{4a}=\sqrt{4}×\sqrt{a}=2\sqrt{a}$；
$\sqrt{8ab^{2}}=\sqrt{4b^{2}×2a}=\sqrt{4b^{2}}×\sqrt{2a}=2b\sqrt{2a}$；
$\sqrt{\frac{1}{6}x}·\sqrt{12xy^{2}}=\sqrt{\frac{1}{6}x×12xy^{2}}=\sqrt{2x^{2}y^{2}}=\sqrt{2}·\sqrt{x^{2}}·\sqrt{y^{2}}=\sqrt{2}xy$。
【答案】
$\sqrt{a}·\sqrt{b}$；$a≥0$，$b≥0$
1. $2\sqrt{2}$；$5\sqrt{3}$；$9$
2. $2\sqrt{a}$；$2b\sqrt{2a}$；$\sqrt{2}xy$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式乘法法则及二次根式化简，需熟练掌握相关运算法则进行计算。
【难度系数】
0.6
根据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$进行计算：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；
$\sqrt{5}×\sqrt{15}=\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$；
$\sqrt{3}×\sqrt{27}=\sqrt{3×27}=\sqrt{81}=9$；
$\sqrt{4a}=\sqrt{4}×\sqrt{a}=2\sqrt{a}$；
$\sqrt{8ab^{2}}=\sqrt{4b^{2}×2a}=\sqrt{4b^{2}}×\sqrt{2a}=2b\sqrt{2a}$；
$\sqrt{\frac{1}{6}x}·\sqrt{12xy^{2}}=\sqrt{\frac{1}{6}x×12xy^{2}}=\sqrt{2x^{2}y^{2}}=\sqrt{2}·\sqrt{x^{2}}·\sqrt{y^{2}}=\sqrt{2}xy$。
【答案】
$\sqrt{a}·\sqrt{b}$；$a≥0$，$b≥0$
1. $2\sqrt{2}$；$5\sqrt{3}$；$9$
2. $2\sqrt{a}$；$2b\sqrt{2a}$；$\sqrt{2}xy$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式乘法法则及二次根式化简，需熟练掌握相关运算法则进行计算。
【难度系数】
0.6
【例】计算： \sqrt{15} × ( -\sqrt{\dfrac{1}{10}} ) × 2\sqrt{6} .
【点拨】此题考查二次根式的乘法法则和二次根式的化简. 可以利用乘法法则将三个被开方数 15， \dfrac{1}{10} ，6 相乘，也可以利用二次根式的化简，将 15 拆成 3 × 5 ， \dfrac{1}{10} 拆成 \dfrac{1}{5} × \dfrac{1}{2} ，6 拆成 2 × 3 再进行计算.
【点拨】此题考查二次根式的乘法法则和二次根式的化简. 可以利用乘法法则将三个被开方数 15， \dfrac{1}{10} ，6 相乘，也可以利用二次根式的化简，将 15 拆成 3 × 5 ， \dfrac{1}{10} 拆成 \dfrac{1}{5} × \dfrac{1}{2} ，6 拆成 2 × 3 再进行计算.
答案
【例】解：原式$=-2\sqrt{3}× \sqrt{5}× \sqrt{\frac{1}{5}}× \sqrt{\frac{1}{2}}× \sqrt{2}× \sqrt{3}=-6$
解析
【解析】
原式$=-2\sqrt{15×\frac{1}{10}×6}$
$=-2\sqrt{9}$
$=-2×3$
$=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
二次根式乘法、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$进行计算，再化简二次根式。
【难度系数】
0.6
原式$=-2\sqrt{15×\frac{1}{10}×6}$
$=-2\sqrt{9}$
$=-2×3$
$=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
二次根式乘法、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$进行计算，再化简二次根式。
【难度系数】
0.6
1. 化简 \sqrt{40} 的结果是(
A.10
$B. 2\sqrt{10} $
$C. 4\sqrt{5} $
D.20
B
)A.10
$B. 2\sqrt{10} $
$C. 4\sqrt{5} $
D.20
答案
1. B
解析
【解析】
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的化简，需要将被开方数分解成一个完全平方数和另一个数的乘积，再利用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.6
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的化简，需要将被开方数分解成一个完全平方数和另一个数的乘积，再利用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.6
2. 下列各式不正确的是(
$A. \sqrt[3]{-8} = -2 $
$B. \sqrt{(-3)^{2}} = -3 $
$C. (\sqrt{2})^{2} = 2 $
$D. \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
B
)$A. \sqrt[3]{-8} = -2 $
$B. \sqrt{(-3)^{2}} = -3 $
$C. (\sqrt{2})^{2} = 2 $
$D. \pm \sqrt{9} = \pm 3 $
答案
2. B
解析
【解析】
- 选项A：
$\sqrt[3]{-8}$，因为$( - 2)^3=-8$，根据立方根的定义：如果$x^3 = a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项正确。
- 选项B：
$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}$，根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}(a≥0)$，所以$\sqrt{9}=3≠ - 3$，该选项错误。
- 选项C：
根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，对于$(\sqrt{2})^2$，这里$a = 2≥0$，所以$(\sqrt{2})^2 = 2$，该选项正确。
- 选项D：
因为$(\pm3)^2 = 9$，根据平方根的定义：如果$x^2 = a$，那么$x$叫做$a$的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$，所以$\pm\sqrt{9}=\pm3$，该选项正确。
综上，答案是B选项。
【答案】
B
【知识点】
立方根、算术平方根、平方根
【点评】
本题主要考查立方根、算术平方根、平方根的计算，需要准确理解相关定义来判断式子的正确性。
【难度系数】
0.7
- 选项A：
$\sqrt[3]{-8}$，因为$( - 2)^3=-8$，根据立方根的定义：如果$x^3 = a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项正确。
- 选项B：
$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}$，根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}(a≥0)$，所以$\sqrt{9}=3≠ - 3$，该选项错误。
- 选项C：
根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，对于$(\sqrt{2})^2$，这里$a = 2≥0$，所以$(\sqrt{2})^2 = 2$，该选项正确。
- 选项D：
因为$(\pm3)^2 = 9$，根据平方根的定义：如果$x^2 = a$，那么$x$叫做$a$的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$，所以$\pm\sqrt{9}=\pm3$，该选项正确。
综上，答案是B选项。
【答案】
B
【知识点】
立方根、算术平方根、平方根
【点评】
本题主要考查立方根、算术平方根、平方根的计算，需要准确理解相关定义来判断式子的正确性。
【难度系数】
0.7
