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1. 在△ABC 中，BC = a，AC = b，AB = c，若∠C = 90°，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. 若△ABC 不是直角三角形，试猜想 $a^{2} + b^{2}$ 与 $c^{2}$ 的大小关系，并证明你的结论.
答案
解：过点A 作CE⊥BC，垂足为点E。设CE=x
①当三角形ABC为锐角三角形时，CE在三角形的内部
$AE^2=AC^2-CE^2=b^2-x^2$，BE=a-x
在Rt△ABE中，$AB^2=BE^2+AE^2$
∴$c^2=(a-x)^2+b^2-x^2$，$c^2=a^2+b^2-2ax$
∵2ax＞0
∴$c^2＜a^2+b^2$
②当三角形ABC为钝角三角形时，CE在三角形的外部
$AE^2=AC^2-CE^2=b^2-x^2$，BE=a+x
在Rt△ABE中，$AB^2=BE^2+AE^2$
$c^2=(a+x)^2+(b^2-x^2)=a^2+b^2+2ax$
∵2ax＞0
∴$c^2＞a^2+b^2$
综上所述：当三角形ABC为锐角三角形时，$c^2＜a^2+b^2$
当三角形ABC为钝角三角形时，$c^2＞a^2+b^2$
解析
【解析】
分两种情况讨论，过点A作$AE⊥BC$，垂足为E，设$CE=x$：
①当$△ ABC$为锐角三角形时，E在BC内部：
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$AE^2=AC^2-CE^2=b^2-x^2$，$BE=a-x$；
在$Rt△ ABE$中，根据勾股定理$AB^2=BE^2+AE^2$，代入得$c^2=(a-x)^2+b^2-x^2$，展开化简得$c^2=a^2+b^2-2ax$；
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$c^2＜a^2+b^2$，即$a^2+b^2＞c^2$。
②当$△ ABC$为钝角三角形（$∠ C$为钝角）时，E在BC的延长线上：
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$AE^2=AC^2-CE^2=b^2-x^2$，$BE=a+x$；
在$Rt△ ABE$中，根据勾股定理$AB^2=BE^2+AE^2$，代入得$c^2=(a+x)^2+b^2-x^2$，展开化简得$c^2=a^2+b^2+2ax$；
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$c^2＞a^2+b^2$，即$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
当$△ ABC$为锐角三角形时，$a^2+b^2＞c^2$；当$△ ABC$为钝角三角形时，$a^2+b^2＜c^2$。
【知识点】
勾股定理，三角形按角分类
【点评】
本题通过构造直角三角形，利用勾股定理分情况探究非直角三角形三边平方的关系，考查了勾股定理的灵活应用，同时体现了分类讨论思想的重要性。
分两种情况讨论，过点A作$AE⊥BC$，垂足为E，设$CE=x$：
①当$△ ABC$为锐角三角形时，E在BC内部：
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$AE^2=AC^2-CE^2=b^2-x^2$，$BE=a-x$；
在$Rt△ ABE$中，根据勾股定理$AB^2=BE^2+AE^2$，代入得$c^2=(a-x)^2+b^2-x^2$，展开化简得$c^2=a^2+b^2-2ax$；
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$c^2＜a^2+b^2$，即$a^2+b^2＞c^2$。
②当$△ ABC$为钝角三角形（$∠ C$为钝角）时，E在BC的延长线上：
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$AE^2=AC^2-CE^2=b^2-x^2$，$BE=a+x$；
在$Rt△ ABE$中，根据勾股定理$AB^2=BE^2+AE^2$，代入得$c^2=(a+x)^2+b^2-x^2$，展开化简得$c^2=a^2+b^2+2ax$；
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$c^2＞a^2+b^2$，即$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
当$△ ABC$为锐角三角形时，$a^2+b^2＞c^2$；当$△ ABC$为钝角三角形时，$a^2+b^2＜c^2$。
【知识点】
勾股定理，三角形按角分类
【点评】
本题通过构造直角三角形，利用勾股定理分情况探究非直角三角形三边平方的关系，考查了勾股定理的灵活应用，同时体现了分类讨论思想的重要性。
2. 如图，CD 是△ABC 的中线，AC⊥CD，∠ACB = 135°. 求 sin A.
答案
解：作BE⊥CD交CD的延长线于点E
则∠E=∠ACD=90°
又AD=BD
∴Rt△BDE≌Rt△ADC
∴BE=AC，DE=CD，∠A=∠DBE
∠BCE=∠ABC-∠ACD=135°-90°=45°
∴BE=CE
∴$tanA=tan∠DBE=\frac {DE}{BE}=\frac 12$
∴$sinA=\frac {\sqrt 5}5$
解析
【解析】
作BE⊥CD交CD的延长线于点E，
则∠E=∠ACD=90°，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
$\{\begin{array}{l} ∠E=∠ACD\\ ∠BDE=∠ADC\\ AD=BD\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（AAS），
∴BE=AC，DE=CD，∠A=∠DBE，
∵∠ACB=135°，AC⊥CD，
∴∠BCE=∠ACB - ∠ACD=135°-90°=45°，
在Rt△BCE中，∠E=90°，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
设CD=x，则DE=x，CE=2x，故BE=AC=2x，
在Rt△ACD中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∴$sinA=\frac{CD}{AD}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 锐角三角函数的定义
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过作辅助线构造全等三角形实现线段与角度的转化，结合等腰直角三角形的性质与锐角三角函数的定义求解，体现了转化思想在几何解题中的重要作用。
作BE⊥CD交CD的延长线于点E，
则∠E=∠ACD=90°，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
$\{\begin{array}{l} ∠E=∠ACD\\ ∠BDE=∠ADC\\ AD=BD\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（AAS），
∴BE=AC，DE=CD，∠A=∠DBE，
∵∠ACB=135°，AC⊥CD，
∴∠BCE=∠ACB - ∠ACD=135°-90°=45°，
在Rt△BCE中，∠E=90°，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
设CD=x，则DE=x，CE=2x，故BE=AC=2x，
在Rt△ACD中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∴$sinA=\frac{CD}{AD}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 锐角三角函数的定义
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过作辅助线构造全等三角形实现线段与角度的转化，结合等腰直角三角形的性质与锐角三角函数的定义求解，体现了转化思想在几何解题中的重要作用。
