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3. 如图，在△ABC 中，∠A = 75°，∠B = 60°，AB + AC = 2 + $\sqrt{6}$. 求 AB、AC、BC.
答案
解：作AD⊥BC于点D
则∠BAD=30°，∠DAC=45°
设BD=x，则在Rt△ABD中，$AD=\sqrt 3x$，AB=2x
在Rt△ADC中，$DC=\sqrt 3x$，$AC=\sqrt 6x$
∴$2x+\sqrt 6x=2+\sqrt 6$
解得x=1
∴AB=2，$BC=1+\sqrt 3$，$AC=\sqrt 6$
解析
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
在$△ ABC$中，$∠ C=180^{\circ}-∠ A-∠ B=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$，
则$∠ BAD=90^{\circ}-∠ B=30^{\circ}$，$∠ DAC=90^{\circ}-∠ C=45^{\circ}$，
设$BD=x$，在$Rt△ ABD$中，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形性质，得$AB=2x$，$AD=\sqrt{3}x$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=45^{\circ}$，故$DC=AD=\sqrt{3}x$，$AC=\sqrt{2}· AD=\sqrt{6}x$，
已知$AB+AC=2+\sqrt{6}$，代入得$2x+\sqrt{6}x=2+\sqrt{6}$，
提取公因式得$x(2+\sqrt{6})=2+\sqrt{6}$，解得$x=1$，
因此$AB=2x=2$，$AC=\sqrt{6}x=\sqrt{6}$，$BC=BD+DC=x+\sqrt{3}x=1+\sqrt{3}$。
【答案】
$AB=2$，$AC=\sqrt{6}$，$BC=1+\sqrt{3}$
【知识点】
含特殊角的直角三角形性质，解直角三角形，方程思想
【点评】
本题通过作斜三角形的高将其转化为两个特殊直角三角形，利用特殊角的边长关系建立方程求解，体现了转化思想与方程思想的综合运用，是解斜三角形的典型方法。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
在$△ ABC$中，$∠ C=180^{\circ}-∠ A-∠ B=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$，
则$∠ BAD=90^{\circ}-∠ B=30^{\circ}$，$∠ DAC=90^{\circ}-∠ C=45^{\circ}$，
设$BD=x$，在$Rt△ ABD$中，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形性质，得$AB=2x$，$AD=\sqrt{3}x$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ DAC=45^{\circ}$，故$DC=AD=\sqrt{3}x$，$AC=\sqrt{2}· AD=\sqrt{6}x$，
已知$AB+AC=2+\sqrt{6}$，代入得$2x+\sqrt{6}x=2+\sqrt{6}$，
提取公因式得$x(2+\sqrt{6})=2+\sqrt{6}$，解得$x=1$，
因此$AB=2x=2$，$AC=\sqrt{6}x=\sqrt{6}$，$BC=BD+DC=x+\sqrt{3}x=1+\sqrt{3}$。
【答案】
$AB=2$，$AC=\sqrt{6}$，$BC=1+\sqrt{3}$
【知识点】
含特殊角的直角三角形性质，解直角三角形，方程思想
【点评】
本题通过作斜三角形的高将其转化为两个特殊直角三角形，利用特殊角的边长关系建立方程求解，体现了转化思想与方程思想的综合运用，是解斜三角形的典型方法。
4. 借助特殊角的三角函数，求 tan 75°的值.
答案
解：如图所示
∠C=90°，∠CAD=60°，∠CAB=75°，AC=1
则∠B=∠DAB=15°，BD=AD=2，$CD=\sqrt 3$，$BC=\sqrt 3+2$
∴$tan 75°=tan∠CAB=\frac {BC}{AC}=\sqrt 3+2$
解析
【解析】
构造如图所示的直角三角形，∠C=90°，∠CAD=60°，∠CAB=75°，AC=1。
由角度计算可得∠B=∠DAB=15°，根据等角对等边得BD=AD=2；
在Rt△ACD中，利用特殊角的三角函数值得CD=√3，因此BC=CD+BD=√3+2；
根据锐角正切的定义，$tan 75°=tan∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}+2}{1}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
$2+\sqrt{3}$（或$\sqrt{3}+2$）
【知识点】
特殊角的三角函数值、等腰三角形判定、锐角三角函数定义
【点评】
本题通过构造含特殊角的直角三角形，将非特殊角75°转化为特殊角的组合，利用等腰三角形性质和特殊角的三角函数值求出相关边长，进而计算出tan75°的值，体现了转化思想在解三角函数问题中的应用。
构造如图所示的直角三角形，∠C=90°，∠CAD=60°，∠CAB=75°，AC=1。
由角度计算可得∠B=∠DAB=15°，根据等角对等边得BD=AD=2；
在Rt△ACD中，利用特殊角的三角函数值得CD=√3，因此BC=CD+BD=√3+2；
根据锐角正切的定义，$tan 75°=tan∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}+2}{1}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
$2+\sqrt{3}$（或$\sqrt{3}+2$）
【知识点】
特殊角的三角函数值、等腰三角形判定、锐角三角函数定义
【点评】
本题通过构造含特殊角的直角三角形，将非特殊角75°转化为特殊角的组合，利用等腰三角形性质和特殊角的三角函数值求出相关边长，进而计算出tan75°的值，体现了转化思想在解三角函数问题中的应用。
5. 如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，AB⊥BC，垂足为 B，AB = 2，且 AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点 E，设 AD = a，BC = b. 求 ab 的值.
答案
解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F
∵AB⊥BC，点B在$\odot O$上
∴CB是$\odot O$的切线，B为切点
∵AD//BC，点A也在$\odot O$上
∴AD也是$\odot O$的切线，A为切点
∵CD也是$\odot O$的切线，且点E为切点
∴AD=DE=a，CE=BC=b
∴CD=a+b
∵DF⊥BC
∴CF=b-a，DF=AB=2
在Rt△DFC中，$CD^2=DF^2+FC^2$
$(a+b)^2=(b-a)^2+2^2$
∴ab=1
解析
【解析】
过点$D$作$DF⊥BC$，垂足为点$F$。
∵$AB⊥BC$，点$B$在$\odot O$上，
∴$CB$是$\odot O$的切线，$B$为切点。
∵$AD// BC$，$AB⊥BC$，点$A$在$\odot O$上，
∴$AD$是$\odot O$的切线，$A$为切点。
∵$CD$切$\odot O$于点$E$，根据切线长定理，
∴$AD=DE=a$，$CE=BC=b$，则$CD=a+b$。
∵$DF⊥BC$，$AD// BC$，$AB⊥BC$，
∴$CF=b-a$，$DF=AB=2$。
在$Rt△DFC$中，由勾股定理得：
$CD^2=DF^2+FC^2$，
即$(a+b)^2=(b-a)^2+2^2$，
展开化简得：$4ab=4$，
∴$ab=1$。
【答案】
$ab=1$
【知识点】
切线长定理、勾股定理、切线的判定
【点评】
本题考查切线的判定、切线长定理及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造直角三角形是解题关键，将线段关系转化为方程求解，体现了数形结合的思想。
过点$D$作$DF⊥BC$，垂足为点$F$。
∵$AB⊥BC$，点$B$在$\odot O$上，
∴$CB$是$\odot O$的切线，$B$为切点。
∵$AD// BC$，$AB⊥BC$，点$A$在$\odot O$上，
∴$AD$是$\odot O$的切线，$A$为切点。
∵$CD$切$\odot O$于点$E$，根据切线长定理，
∴$AD=DE=a$，$CE=BC=b$，则$CD=a+b$。
∵$DF⊥BC$，$AD// BC$，$AB⊥BC$，
∴$CF=b-a$，$DF=AB=2$。
在$Rt△DFC$中，由勾股定理得：
$CD^2=DF^2+FC^2$，
即$(a+b)^2=(b-a)^2+2^2$，
展开化简得：$4ab=4$，
∴$ab=1$。
【答案】
$ab=1$
【知识点】
切线长定理、勾股定理、切线的判定
【点评】
本题考查切线的判定、切线长定理及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造直角三角形是解题关键，将线段关系转化为方程求解，体现了数形结合的思想。
