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6. 如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别是 A(-2，0)、B(8，0)，以 AB 为直径的半圆 P 与 y 轴交于点 E，以 AB 为一边作正方形 ABCD，连接 EC. 试判断直线 EC 与⊙P 的位置关系，并说明你的理由.
答案
解：由A(-2，0)、B(8，0)和正方形ABCD
得BC=10，C(8，10)、P(3，0)，PE=PA=5
∴OE=4，E(0，4)
∴$CE=\sqrt {8^2+(10-4)^2}=10$，$CP=\sqrt {(8-3)^2+10^2}=5\sqrt 5$
∴$PE^2+CE^2=CP^2$
∴∠CEP=90°，CE⊥PE
又PE是$\odot P$的半径
∴EC与$\odot P$相切
得BC=10，C(8，10)、P(3，0)，PE=PA=5
∴OE=4，E(0，4)
∴$CE=\sqrt {8^2+(10-4)^2}=10$，$CP=\sqrt {(8-3)^2+10^2}=5\sqrt 5$
∴$PE^2+CE^2=CP^2$
∴∠CEP=90°，CE⊥PE
又PE是$\odot P$的半径
∴EC与$\odot P$相切
解析
【解析】
1. 由A(-2，0)、B(8，0)，可得AB=10，因为ABCD是正方形，所以BC=AB=10，C(8，10)；AB中点P的坐标为(3，0)，半圆P的半径PE=PA=5。
2. 在Rt△POE中，由勾股定理得$OE=\sqrt{PE^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，故E(0，4)。
3. 计算线段长度：$CE=\sqrt{(8-0)^2+(10-4)^2}=10$，$CP=\sqrt{(8-3)^2+(10-0)^2}=5\sqrt{5}$。
4. 验证得$PE^2+CE^2=5^2+10^2=125$，$CP^2=(5\sqrt{5})^2=125$，即$PE^2+CE^2=CP^2$，根据勾股定理逆定理，∠CEP=90°，CE⊥PE。
5. 因为PE是⊙P的半径，且CE⊥PE，根据切线的判定定理，直线EC与⊙P相切。
【答案】
直线EC与⊙P相切
【知识点】
勾股定理逆定理；切线的判定；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查坐标与图形性质、勾股定理逆定理及切线的判定，解题关键是通过坐标计算线段长度，利用勾股定理逆定理证明直线与半径垂直，进而判定切线。
1. 由A(-2，0)、B(8，0)，可得AB=10，因为ABCD是正方形，所以BC=AB=10，C(8，10)；AB中点P的坐标为(3，0)，半圆P的半径PE=PA=5。
2. 在Rt△POE中，由勾股定理得$OE=\sqrt{PE^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，故E(0，4)。
3. 计算线段长度：$CE=\sqrt{(8-0)^2+(10-4)^2}=10$，$CP=\sqrt{(8-3)^2+(10-0)^2}=5\sqrt{5}$。
4. 验证得$PE^2+CE^2=5^2+10^2=125$，$CP^2=(5\sqrt{5})^2=125$，即$PE^2+CE^2=CP^2$，根据勾股定理逆定理，∠CEP=90°，CE⊥PE。
5. 因为PE是⊙P的半径，且CE⊥PE，根据切线的判定定理，直线EC与⊙P相切。
【答案】
直线EC与⊙P相切
【知识点】
勾股定理逆定理；切线的判定；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查坐标与图形性质、勾股定理逆定理及切线的判定，解题关键是通过坐标计算线段长度，利用勾股定理逆定理证明直线与半径垂直，进而判定切线。
7. 如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E. 求 $AE^{2} + BE^{2} + CE^{2} + DE^{2}$ 的值.
答案
解：连接AO并延长交$\odot O$于点F，连接BC、BF、DF、AD
∵AF是直径
∴∠ADF=90°，∠ABF=90°，AB⊥BF
∵AB⊥CD
∴BF//CD
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$
∴BC=DF
在Rt△AED、Rt△BCE、Rt△ADF中
$AE^2+DE^2=AD^2$，$CE^2+BE^2=BC^2=DF^2$，$AD^2+DF^2=AF^2$
∴$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=AD^2+DF^2=AF^2$
∵AF是直径
∴AF=2，$AF^2=4$
∴$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=4$
解析
【解析】
连接AO并延长交$\odot O$于点F，连接BC、BF、DF、AD。
∵AF是直径，
∴$∠ ADF=90°$，$∠ ABF=90°$，即$AB⊥ BF$。
∵$AB⊥ CD$，
∴$BF// CD$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$，故$BC=DF$。
在$Rt△ AED$中，$AE^2+DE^2=AD^2$；
在$Rt△ BCE$中，$CE^2+BE^2=BC^2=DF^2$；
在$Rt△ ADF$中，$AD^2+DF^2=AF^2$。
∴$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=AD^2+DF^2=AF^2$。
∵$\odot O$的半径为1，
∴AF=2，$AF^2=4$，
即$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，平行弦所对弧相等，勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助直径，借助圆周角定理、平行弦的性质，将分散的线段平方和转化为直径的平方，巧妙运用转化思想解决圆中的线段计算问题，提升了对圆的性质与勾股定理综合应用的能力。
连接AO并延长交$\odot O$于点F，连接BC、BF、DF、AD。
∵AF是直径，
∴$∠ ADF=90°$，$∠ ABF=90°$，即$AB⊥ BF$。
∵$AB⊥ CD$，
∴$BF// CD$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$，故$BC=DF$。
在$Rt△ AED$中，$AE^2+DE^2=AD^2$；
在$Rt△ BCE$中，$CE^2+BE^2=BC^2=DF^2$；
在$Rt△ ADF$中，$AD^2+DF^2=AF^2$。
∴$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=AD^2+DF^2=AF^2$。
∵$\odot O$的半径为1，
∴AF=2，$AF^2=4$，
即$AE^2+BE^2+CE^2+DE^2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，平行弦所对弧相等，勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助直径，借助圆周角定理、平行弦的性质，将分散的线段平方和转化为直径的平方，巧妙运用转化思想解决圆中的线段计算问题，提升了对圆的性质与勾股定理综合应用的能力。
