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1. $△ ABC$的三边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$2$，$△ A'B'C'$的两边长分别为$1$、$\sqrt{5}$.要使$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$△ A'B'C'$的第三边长应为().
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
C
解析
【解析】
首先将△ABC的三边长从小到大排序：$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$。
已知△A'B'C'的两边长为$1$、$\sqrt{5}$，计算对应边比例：$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，可得相似比为$\sqrt{2}:1$。
设△A'B'C'的第三边长为$x$，根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形对应边成比例
【点评】
解决此类问题需先明确相似三角形的对应边关系，准确计算相似比，避免因对应边匹配错误导致结果出错。
首先将△ABC的三边长从小到大排序：$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$。
已知△A'B'C'的两边长为$1$、$\sqrt{5}$，计算对应边比例：$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，可得相似比为$\sqrt{2}:1$。
设△A'B'C'的第三边长为$x$，根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形对应边成比例
【点评】
解决此类问题需先明确相似三角形的对应边关系，准确计算相似比，避免因对应边匹配错误导致结果出错。
2. 给出下列判断：① 有一个钝角相等的两个等腰三角形相似.② 两锐角之差相等的两个直角三角形相似.③ 若一个三角形的两边长分别为$3$、$\sqrt{6}$，夹角为$48^{\circ}$，另一个三角形的两边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$，夹角为$48^{\circ}$，则这两个三角形相似.④ 若一个三角形的三边长分别为$4$、$6$、$8$，另一个三角形的三边长分别为$24$、$18$、$12$，则这两个三角形相似.
其中，判断正确的有().
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
其中，判断正确的有().
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
D
解析
【解析】
我们逐个分析每个判断：
① 等腰三角形的钝角只能是顶角（若为底角则内角和超过$180^{\circ}$），故两个等腰三角形的顶角相等，底角均为$\frac{180^{\circ}-钝角}{2}$，三个角对应相等，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知两三角形相似，该判断正确。
② 直角三角形两锐角和为$90^{\circ}$，设两直角三角形的锐角分别为$α、90^{\circ}-α$和$β、90^{\circ}-β$，由两锐角之差相等得$|α-(90^{\circ}-α)|=|β-(90^{\circ}-β)|$，化简得$α=β$或$α+β=90^{\circ}$，均能推出两三角形的锐角对应相等，结合直角相等，三个角对应相等，故两三角形相似，该判断正确。
③ 计算两边的比例：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，即两边对应成比例，且夹角均为$48^{\circ}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）”，可知两三角形相似，该判断正确。
④ 将两个三角形的边长排序：第一个为4、6、8，第二个为12、18、24，计算比例：$\frac{12}{4}=\frac{18}{6}=\frac{24}{8}=3$，即三边对应成比例，根据“三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）”，可知两三角形相似，该判断正确。
综上，4个判断均正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形相似判定、等腰三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题主要考查三角形相似的判定定理，需熟练掌握相似三角形的各类判定方法，同时结合等腰、直角三角形的性质，对每个判断逐一分析验证，避免遗漏情况。
我们逐个分析每个判断：
① 等腰三角形的钝角只能是顶角（若为底角则内角和超过$180^{\circ}$），故两个等腰三角形的顶角相等，底角均为$\frac{180^{\circ}-钝角}{2}$，三个角对应相等，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知两三角形相似，该判断正确。
② 直角三角形两锐角和为$90^{\circ}$，设两直角三角形的锐角分别为$α、90^{\circ}-α$和$β、90^{\circ}-β$，由两锐角之差相等得$|α-(90^{\circ}-α)|=|β-(90^{\circ}-β)|$，化简得$α=β$或$α+β=90^{\circ}$，均能推出两三角形的锐角对应相等，结合直角相等，三个角对应相等，故两三角形相似，该判断正确。
③ 计算两边的比例：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，即两边对应成比例，且夹角均为$48^{\circ}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）”，可知两三角形相似，该判断正确。
④ 将两个三角形的边长排序：第一个为4、6、8，第二个为12、18、24，计算比例：$\frac{12}{4}=\frac{18}{6}=\frac{24}{8}=3$，即三边对应成比例，根据“三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）”，可知两三角形相似，该判断正确。
综上，4个判断均正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形相似判定、等腰三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题主要考查三角形相似的判定定理，需熟练掌握相似三角形的各类判定方法，同时结合等腰、直角三角形的性质，对每个判断逐一分析验证，避免遗漏情况。
3. 如图，$O$是$△ ABC$内的一点，$A'$、$B'$、$C'$分别是$OA$、$OB$、$OC$的中点.$△ A'B'C'$与$△ ABC$相似吗？为什么？
答案
解:△A'B'C'∽△ABC
证明：
∵A'、B'、C'分别是OA、OB、OC的中点
∴$A'B'=\frac 12AB$，$A'C'=\frac 12AC$，$B'C'=\frac 12BC$
∴$\frac {A'B'}{AB}=\frac {A'C'}{AC}=\frac {B'C'}{BC}$
∴△A'B'C'∽△ABC
证明：
∵A'、B'、C'分别是OA、OB、OC的中点
∴$A'B'=\frac 12AB$，$A'C'=\frac 12AC$，$B'C'=\frac 12BC$
∴$\frac {A'B'}{AB}=\frac {A'C'}{AC}=\frac {B'C'}{BC}$
∴△A'B'C'∽△ABC
解析
【解析】
要判断$△ A'B'C'$与$△ ABC$是否相似，可通过三边的比例关系证明：
∵$A'$、$B'$、$C'$分别是$OA$、$OB$、$OC$的中点，
根据三角形中位线定理，可得$A'B'=\frac{1}{2}AB$，$A'C'=\frac{1}{2}AC$，$B'C'=\frac{1}{2}BC$，
因此$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，
根据“三边成比例的两个三角形相似”，可得出$△ A'B'C'∽△ ABC$。
【答案】
$△ A'B'C'∽△ ABC$
【知识点】
三角形中位线定理；三边成比例判定相似
【点评】
本题考查相似三角形判定与三角形中位线定理的综合应用，解题关键是利用中位线定理推导两个三角形三边的比例关系，再依据相似三角形判定定理完成证明。
要判断$△ A'B'C'$与$△ ABC$是否相似，可通过三边的比例关系证明：
∵$A'$、$B'$、$C'$分别是$OA$、$OB$、$OC$的中点，
根据三角形中位线定理，可得$A'B'=\frac{1}{2}AB$，$A'C'=\frac{1}{2}AC$，$B'C'=\frac{1}{2}BC$，
因此$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，
根据“三边成比例的两个三角形相似”，可得出$△ A'B'C'∽△ ABC$。
【答案】
$△ A'B'C'∽△ ABC$
【知识点】
三角形中位线定理；三边成比例判定相似
【点评】
本题考查相似三角形判定与三角形中位线定理的综合应用，解题关键是利用中位线定理推导两个三角形三边的比例关系，再依据相似三角形判定定理完成证明。
