1. 一个最简分数，分子减$1$等于$\frac{1}{3}$，分母减$1$等于$\frac{1}{2}$。这个分数是。

1.$\frac{4}{9}$

【分析】
我们可以通过设未知数建立方程的思路来解题。首先，题目给出了两个关于分子和分母的等量关系，先设分子为$x$，根据“分子减1等于$\frac{1}{3}$”，能得出分母是$3(x-1)$；再根据“分母减1等于$\frac{1}{2}$”，可知分母减1后是分子的2倍，由此列出方程求解分子，进而求出分母，最后验证所得分数是否为最简分数即可。
【解析】
解：设这个最简分数的分子为$x$。
1. 根据“分子减1等于$\frac{1}{3}$”，可得分母为$3(x-1)$。
2. 根据“分母减1等于$\frac{1}{2}$”，可列方程：
$3(x-1) - 1 = 2x$
3. 展开括号并化简：
$3x - 3 - 1 = 2x$
$3x - 4 = 2x$
4. 移项求解：
$3x - 2x = 4$
$x = 4$
5. 计算分母：
分母为$3×(4-1)=9$，得到分数$\frac{4}{9}$。
6. 验证：
$\frac{4}{9}$是最简分数，且$4-1=3$，$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$；$9-1=8$，$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，完全符合题意。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
简易方程、最简分数、分数的基本性质
【点评】
本题重点考查将文字条件转化为数学表达式的能力，通过建立方程求解分数问题，需要准确把握题目中的等量关系，同时最后要验证所得分数是否满足“最简分数”的要求，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.4

2. 把$5$个体积都是$1$立方厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米?

2.$5×1×4+1×1×2=22(\mathrm{cm}^2)$

【分析】
首先，体积为1立方厘米的正方体棱长是1厘米。由于5是质数，5个这样的正方体拼成长方体只有一种拼法：排成一排，此时长方体的长为5厘米，宽和高均为1厘米。
计算该长方体表面积可从两种角度思考：
1. 先计算5个正方体的总表面积，再减去拼接过程中减少的面的面积：每个正方体表面积为6×1×1=6平方厘米，5个总表面积是5×6=30平方厘米；每两个正方体拼接会减少2个1平方厘米的面，5个正方体拼接有4个拼接处，共减少4×2=8平方厘米，因此长方体表面积为30-8=22平方厘米。
2. 直接根据长方体的长、宽、高计算表面积：长方体的4个侧面均为长5厘米、宽1厘米的长方形，上下底面为边长1厘米的正方形，因此表面积可表示为4个侧面面积加2个底面面积，即5×1×4 + 1×1×2，计算结果为22平方厘米。
【解析】
因为每个正方体体积是1立方厘米，所以正方体棱长为1厘米。
5个正方体拼成长方体，只能排成一排，得到长方体的长=5×1=5cm，宽=1cm，高=1cm。
计算长方体表面积：
$5×1×4 + 1×1×2 = 20 + 2 = 22(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
22平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算、正方体拼接表面积变化
【点评】
本题重点考查立体图形拼接后的表面积计算，核心是确定唯一的拼法（5为质数，仅能排成一排），解题时可通过总表面积减减少的面或直接计算长方体表面积两种方法，需注意拼接时面的减少数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7