登录
1. 以下列各组数为边长，能构成一个直角三角形的是().
A.$ a = 2 $，$ b = 2 $，$ c = \sqrt{3} $
B.$ a = 2 $，$ b = 3 $，$ c = 4 $
C.$ a = 1 $，$ b = \sqrt{2} $，$ c = \sqrt{3} $
D.$ a = 2 $，$ b = 2 $，$ c = 2 $
A.$ a = 2 $，$ b = 2 $，$ c = \sqrt{3} $
B.$ a = 2 $，$ b = 3 $，$ c = 4 $
C.$ a = 1 $，$ b = \sqrt{2} $，$ c = \sqrt{3} $
D.$ a = 2 $，$ b = 2 $，$ c = 2 $
答案
C
解析
根据勾股定理的逆定理，若三角形较小两边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形。
选项A：最大边为2，$(\sqrt{3})^2 + 2^2=3+4=7≠2^2=4$，不满足；
选项B：最大边为4，$2^2 + 3^2=4+9=13≠4^2=16$，不满足；
选项C：最大边为$\sqrt{3}$，$1^2 + (\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$，满足；
选项D：三边相等，是等边三角形，不是直角三角形。
综上，能构成直角三角形的是选项C。
选项A：最大边为2，$(\sqrt{3})^2 + 2^2=3+4=7≠2^2=4$，不满足；
选项B：最大边为4，$2^2 + 3^2=4+9=13≠4^2=16$，不满足；
选项C：最大边为$\sqrt{3}$，$1^2 + (\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$，满足；
选项D：三边相等，是等边三角形，不是直角三角形。
综上，能构成直角三角形的是选项C。
2. 若线段 $ a $，$ b $，$ c $ 能组成一个直角三角形，则它们的比可以是().
A.$ 1 : 2 : 4 $
B.$ 1 : 3 : 5 $
C.$ 3 : 4 : 7 $
D.$ 5 : 12 : 13 $
A.$ 1 : 2 : 4 $
B.$ 1 : 3 : 5 $
C.$ 3 : 4 : 7 $
D.$ 5 : 12 : 13 $
答案
D
解析
根据勾股定理的逆定理，若三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则能组成直角三角形。
选项A：设三边为$x,2x,4x$，$x^2+(2x)^2=5x^2≠(4x)^2=16x^2$，不满足；
选项B：设三边为$x,3x,5x$，$x^2+(3x)^2=10x^2≠(5x)^2=25x^2$，不满足；
选项C：设三边为$3x,4x,7x$，$(3x)^2+(4x)^2=25x^2≠(7x)^2=49x^2$，不满足；
选项D：设三边为$5x,12x,13x$，$(5x)^2+(12x)^2=169x^2=(13x)^2$，满足。
因此只有选项D的线段比能组成直角三角形。
选项A：设三边为$x,2x,4x$，$x^2+(2x)^2=5x^2≠(4x)^2=16x^2$，不满足；
选项B：设三边为$x,3x,5x$，$x^2+(3x)^2=10x^2≠(5x)^2=25x^2$，不满足；
选项C：设三边为$3x,4x,7x$，$(3x)^2+(4x)^2=25x^2≠(7x)^2=49x^2$，不满足；
选项D：设三边为$5x,12x,13x$，$(5x)^2+(12x)^2=169x^2=(13x)^2$，满足。
因此只有选项D的线段比能组成直角三角形。
3. 已知 $ △ ABC $ 的三边长分别是 $ a $，$ b $，$ c $，下列条件中不能判断 $ △ ABC $ 为直角三角形的是().
A.$ ∠ A + ∠ B = ∠ C $
B.$ a = 3 $，$ b = 4 $，$ c = 5 $
C.$ ∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5 $
D.$ a^{2} - b^{2} = c^{2} $
A.$ ∠ A + ∠ B = ∠ C $
B.$ a = 3 $，$ b = 4 $，$ c = 5 $
C.$ ∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5 $
D.$ a^{2} - b^{2} = c^{2} $
答案
C
解析
根据直角三角形的判定方法逐一分析：
1. 选项A：由∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形；
2. 选项B：因为3²+4²=5²，符合勾股定理逆定理，能判定△ABC是直角三角形；
3. 选项C：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，由3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则∠C=75°，无直角，不能判定△ABC是直角三角形；
4. 选项D：由a²-b²=c²变形得a²=b²+c²，符合勾股定理逆定理，能判定△ABC是直角三角形。
综上，不能判定的是选项C。
1. 选项A：由∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形；
2. 选项B：因为3²+4²=5²，符合勾股定理逆定理，能判定△ABC是直角三角形；
3. 选项C：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，由3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则∠C=75°，无直角，不能判定△ABC是直角三角形；
4. 选项D：由a²-b²=c²变形得a²=b²+c²，符合勾股定理逆定理，能判定△ABC是直角三角形。
综上，不能判定的是选项C。
4. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = 90° $，$ AB = 9 $，$ BC = 12 $，$ CD = 8 $，$ AD = 17 $，则四边形 $ ABCD $ 的面积为().
A.108
B.114
C.122
D.158
A.108
B.114
C.122
D.158
答案
B
解析
连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，由勾股定理得：
AC²=AB²+BC²=9²+12²=225，故AC=15。
在△ACD中，AC=15，CD=8，AD=17，
∵AC²+CD²=15²+8²=289，AD²=17²=289，
∴AC²+CD²=AD²，由勾股定理逆定理得∠ACD=90°。
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD
=1/2×AB×BC + 1/2×AC×CD
=1/2×9×12 + 1/2×15×8
=54+60=114。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，由勾股定理得：
AC²=AB²+BC²=9²+12²=225，故AC=15。
在△ACD中，AC=15，CD=8，AD=17，
∵AC²+CD²=15²+8²=289，AD²=17²=289，
∴AC²+CD²=AD²，由勾股定理逆定理得∠ACD=90°。
四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD
=1/2×AB×BC + 1/2×AC×CD
=1/2×9×12 + 1/2×15×8
=54+60=114。
5. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ (a - b)(a^{2} - b^{2} - c^{2}) = 0 $，则 $ △ ABC $ 是().
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案
D
解析
已知$(a - b)(a^{2} - b^{2} - c^{2}) = 0$，根据乘法性质，可得：
1. 若$a - b=0$，则$a=b$，$△ ABC$是等腰三角形；
2. 若$a^{2} - b^{2} - c^{2}=0$，则$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，由勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形。
因此$△ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
1. 若$a - b=0$，则$a=b$，$△ ABC$是等腰三角形；
2. 若$a^{2} - b^{2} - c^{2}=0$，则$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，由勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形。
因此$△ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
6. 已知 $ △ ABC $ 的三边长分别为 $ a $，$ b $，$ c $，且这三边长满足 $ (a - 3)^{2} + \sqrt{b - 4} + |c - 5| = 0 $，则 $ △ ABC $ 的形状是 .
答案
直角三角形
解析
根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得：
$(a - 3)^2=0$，解得$a=3$；
$\sqrt{b - 4}=0$，解得$b=4$；
$|c - 5|=0$，解得$c=5$。
因为$3^2+4^2=5^2$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
$(a - 3)^2=0$，解得$a=3$；
$\sqrt{b - 4}=0$，解得$b=4$；
$|c - 5|=0$，解得$c=5$。
因为$3^2+4^2=5^2$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
7. 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 2k $，$ AC = 2k + 1 $，$ BC = 3 $，当整数 $ k = $ 时，$ ∠ B = 90° $.
答案
2
解析
因为∠B=90°，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，其中AB、BC为直角边，AC为斜边，因此列方程：
$(2k)^2 + 3^2 = (2k+1)^2$
展开得：$4k^2 + 9 = 4k^2 + 4k + 1$
化简得：$4k = 8$，解得$k=2$，且k为整数，符合要求。
$(2k)^2 + 3^2 = (2k+1)^2$
展开得：$4k^2 + 9 = 4k^2 + 4k + 1$
化简得：$4k = 8$，解得$k=2$，且k为整数，符合要求。
8. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 13 $，$ BC = 10 $，$ BC $ 边上的中线 $ AD = 12 $. 求证 $ AB = AC $.
答案
证明：
∵AD是BC边上的中线，BC=10，
∴BD=DC=½BC=5。
在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5，
∵5²+12²=25+144=169，13²=169，
∴BD²+AD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
即AD⊥BC。
又∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC。
∵AD是BC边上的中线，BC=10，
∴BD=DC=½BC=5。
在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5，
∵5²+12²=25+144=169，13²=169，
∴BD²+AD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
即AD⊥BC。
又∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC。
