9. 如图，已知长方体的长、宽、高分别为 $ 6 $，$ 3 $，$ 5 $，一只蚂蚁从 $ A $ 处出发到 $ P $ 处寻觅到食物的最短路径长为 .

10

将长方体侧面展开，分三种情况计算路径长度：
① 把长为6、宽为3的面与高为5的面展开，直角边为$6+3=9$和5，路径长为$\sqrt{9^2+5^2}=\sqrt{106}$；
② 把长为6、高为5的面与宽为3的面展开，直角边为$6+5=11$和3，路径长为$\sqrt{11^2+3^2}=\sqrt{130}$；
③ 把宽为3、高为5的面与长为6的面展开，直角边为$3+5=8$和6，路径长为$\sqrt{8^2+6^2}=10$。
比较$\sqrt{106}$、$\sqrt{130}$、10的大小，可知最短路径长为10。

10. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A = 45° $，$ AC = \sqrt{2} $，$ AB = \sqrt{3} + 1 $.
(1) 求 $ S_{△ ABC} $.
(2) 求 $ BC $ 的长.

解：
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
在$Rt△ ACD$中，$∠ A = 45°$，$AC = \sqrt{2}$，
设$CD = AD = x$，由勾股定理得：
$x^2 + x^2 = (\sqrt{2})^2$，
$2x^2 = 2$，解得$x = 1$（$x = -1$舍去），
$\therefore CD = 1$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1) × 1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$；
(2) $\because AB = \sqrt{3} + 1$，$AD = 1$，
$\therefore BD = AB - AD = (\sqrt{3} + 1) - 1 = \sqrt{3}$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$。

11. 在 $ △ ABC $ 中，$ BC = a $，$ AC = b $，$ AB = c $. 若 $ ∠ C = 90° $，如图 ①，根据勾股定理，则 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $. 若 $ △ ABC $ 不是直角三角形，如图 ② 和图 ③，请你类比勾股定理，试猜想 $ a^{2} + b^{2} $ 与 $ c^{2} $ 的大小关系，并证明你的结论.

解：
1. 当$△ ABC$为锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$，证明如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$CD=x$，则$BD=a-x$，其中$x＞0$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$，
则$b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$，
展开得：$b^{2}-x^{2}=c^{2}-a^{2}+2ax-x^{2}$，
化简得：$a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ax$，
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$。
2. 当$△ ABC$为钝角三角形（$∠ C$为钝角）时，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$，证明如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，设$CD=x$，则$BD=a+x$，其中$x＞0$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$，
则$b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$，
展开得：$b^{2}-x^{2}=c^{2}-a^{2}-2ax-x^{2}$，
化简得：$a^{2}+b^{2}=c^{2}-2ax$，
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。
综上，当$△ ABC$是锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$；当$△ ABC$是钝角三角形（$∠ C$为钝角）时，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。