登录
1. 已知$\sqrt{a - \sqrt{5} - 2} + \sqrt{b - \sqrt{5} + 2} = 0$，求$\sqrt{a^{2} + b^{2} + 7}$的值.
答案
解: 5.
解析
【解析】
因为二次根式具有非负性，即$\sqrt{x} ≥ 0$（$x≥0$），两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0。
由此可得：
$\begin{cases}a - \sqrt{5} - 2 = 0 \\b - \sqrt{5} + 2 = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = \sqrt{5} + 2 \\b = \sqrt{5} - 2\end{cases}$
计算$a^2$和$b^2$：
$a^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = 9 + 4\sqrt{5}$
$b^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = 9 - 4\sqrt{5}$
则$a^2 + b^2 = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$
所以$\sqrt{a^2 + b^2 + 7} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$
【答案】
5
【知识点】
二次根式的非负性；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式非负性的应用，通过非负性求出a、b的值是解题突破口，需熟练运用完全平方公式进行整式运算。
【难度系数】
0.6
因为二次根式具有非负性，即$\sqrt{x} ≥ 0$（$x≥0$），两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0。
由此可得：
$\begin{cases}a - \sqrt{5} - 2 = 0 \\b - \sqrt{5} + 2 = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = \sqrt{5} + 2 \\b = \sqrt{5} - 2\end{cases}$
计算$a^2$和$b^2$：
$a^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = 9 + 4\sqrt{5}$
$b^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = 9 - 4\sqrt{5}$
则$a^2 + b^2 = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$
所以$\sqrt{a^2 + b^2 + 7} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$
【答案】
5
【知识点】
二次根式的非负性；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式非负性的应用，通过非负性求出a、b的值是解题突破口，需熟练运用完全平方公式进行整式运算。
【难度系数】
0.6
2. 已知$x$，$y$为实数，且$x^{2} = \sqrt{y - 5} + \sqrt{5 - y} + 9$，求$x + y$的值.
答案
解: 2 或 8.
解析
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数须为非负数，可得：
$\begin{cases}y - 5 ≥ 0 \\5 - y ≥ 0 \end{cases}$
解得$y = 5$。
将$y = 5$代入$x^{2} = \sqrt{y - 5} + \sqrt{5 - y} + 9$，得：
$x^2 = 0 + 0 + 9 = 9$，则$x = \pm3$。
当$x = 3$，$y = 5$时，$x + y = 3 + 5 = 8$；
当$x = -3$，$y = 5$时，$x + y = -3 + 5 = 2$。
综上，$x + y$的值为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方根的定义
【点评】
本题核心是利用二次根式有意义的条件确定y的值，再结合平方根的定义求出x的可能值，进而计算x+y，考查对二次根式性质和平方根概念的基础应用。
【难度系数】
0.6
根据二次根式有意义的条件，被开方数须为非负数，可得：
$\begin{cases}y - 5 ≥ 0 \\5 - y ≥ 0 \end{cases}$
解得$y = 5$。
将$y = 5$代入$x^{2} = \sqrt{y - 5} + \sqrt{5 - y} + 9$，得：
$x^2 = 0 + 0 + 9 = 9$，则$x = \pm3$。
当$x = 3$，$y = 5$时，$x + y = 3 + 5 = 8$；
当$x = -3$，$y = 5$时，$x + y = -3 + 5 = 2$。
综上，$x + y$的值为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方根的定义
【点评】
本题核心是利用二次根式有意义的条件确定y的值，再结合平方根的定义求出x的可能值，进而计算x+y，考查对二次根式性质和平方根概念的基础应用。
【难度系数】
0.6
3. 已知数轴上表示实数$a$，$b$的点的位置如图所示，则$|a - b| - \sqrt{a^{2}}$的结果是(
A.$2a - b$
B.$b - 2a$
C.$-b$
D.$b$
D
)A.$2a - b$
B.$b - 2a$
C.$-b$
D.$b$
答案
3. D
解析
【解析】
根据数轴可知$a ＜ b ＜ 0$，因此$a - b ＜ 0$，$a ＜ 0$。
根据绝对值的性质：$|a - b| = b - a$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2} = |a| = -a$。
将其代入原式：
$|a - b| - \sqrt{a^2} = (b - a) - (-a) = b - a + a = b$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的性质，数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查了绝对值与二次根式的化简，解题关键是根据数轴判断出$a$、$b$的大小关系，再利用相关性质进行化简计算。
【难度系数】
0.7
根据数轴可知$a ＜ b ＜ 0$，因此$a - b ＜ 0$，$a ＜ 0$。
根据绝对值的性质：$|a - b| = b - a$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2} = |a| = -a$。
将其代入原式：
$|a - b| - \sqrt{a^2} = (b - a) - (-a) = b - a + a = b$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的性质，数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查了绝对值与二次根式的化简，解题关键是根据数轴判断出$a$、$b$的大小关系，再利用相关性质进行化简计算。
【难度系数】
0.7
4. 已知数轴上表示实数$a$，$b$的点的位置如图所示，化简：$\sqrt{(a - b)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}}$.
答案
解: 原式$=2a$.
解析
【解析】
由数轴可知，$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，因此$a - b ＞ 0$，$a + b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\sqrt{(a - b)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}} = |a - b| - |a + b|$
因为$a - b ＞ 0$，所以$|a - b|=a - b$；因为$a + b ＜ 0$，所以$|a + b|=-(a + b)$。
代入计算得：
原式$=(a - b) - [-(a + b)] = a - b + a + b = 2a$
【答案】
$2a$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值化简、数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查二次根式的化简，关键是根据数轴判断出相关式子的正负性，再利用二次根式与绝对值的关系转化化简，需准确把握符号判断这一要点。
【难度系数】
0.6
由数轴可知，$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，因此$a - b ＞ 0$，$a + b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\sqrt{(a - b)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}} = |a - b| - |a + b|$
因为$a - b ＞ 0$，所以$|a - b|=a - b$；因为$a + b ＜ 0$，所以$|a + b|=-(a + b)$。
代入计算得：
原式$=(a - b) - [-(a + b)] = a - b + a + b = 2a$
【答案】
$2a$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值化简、数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查二次根式的化简，关键是根据数轴判断出相关式子的正负性，再利用二次根式与绝对值的关系转化化简，需准确把握符号判断这一要点。
【难度系数】
0.6
5. 已知三角形三边的长分别为$2$，$6$，$m$，化简：$\sqrt{m^{2} - 8m + 16} + |m - 8|$.
答案
解: 原式$=4$.
解析
【解析】
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$6 - 2 ＜ m ＜ 6 + 2$，即$4 ＜ m ＜ 8$。
对原式进行化简：
$\sqrt{m^2 - 8m + 16} = \sqrt{(m - 4)^2} = |m - 4|$，
因为$4 ＜ m ＜ 8$，所以$m - 4 ＞ 0$，则$|m - 4| = m - 4$；
$|m - 8|$，因为$m ＜ 8$，所以$m - 8 ＜ 0$，则$|m - 8| = 8 - m$。
因此原式$=(m - 4) + (8 - m) = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
三角形三边关系，二次根式化简，绝对值化简
【点评】
本题综合考查三角形三边关系、二次根式的性质及绝对值的化简，解题关键是先利用三角形三边关系确定$m$的取值范围，再根据取值范围去掉根号和绝对值符号进行计算。
【难度系数】
0.6
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$6 - 2 ＜ m ＜ 6 + 2$，即$4 ＜ m ＜ 8$。
对原式进行化简：
$\sqrt{m^2 - 8m + 16} = \sqrt{(m - 4)^2} = |m - 4|$，
因为$4 ＜ m ＜ 8$，所以$m - 4 ＞ 0$，则$|m - 4| = m - 4$；
$|m - 8|$，因为$m ＜ 8$，所以$m - 8 ＜ 0$，则$|m - 8| = 8 - m$。
因此原式$=(m - 4) + (8 - m) = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
三角形三边关系，二次根式化简，绝对值化简
【点评】
本题综合考查三角形三边关系、二次根式的性质及绝对值的化简，解题关键是先利用三角形三边关系确定$m$的取值范围，再根据取值范围去掉根号和绝对值符号进行计算。
【难度系数】
0.6
