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6. 化简：$\sqrt{x^{2} + 6x + 9} + \sqrt{x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{x^{2} - 4x + 4}$.
答案
解: 当$x＜-3$时, 原式$=-x-4$;
当$-3≤ x≤ 1$时, 原式$=x+2$;
当$1＜x≤ 2$时, 原式$=3x$;
当$x＞2$时, 原式$=x+4$.
当$-3≤ x≤ 1$时, 原式$=x+2$;
当$1＜x≤ 2$时, 原式$=3x$;
当$x＞2$时, 原式$=x+4$.
解析
【解析】
先将各二次根式内的式子配方，转化为绝对值形式：
$\sqrt{x^{2} + 6x + 9}=\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|$，
$\sqrt{x^{2} - 2x + 1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，
$\sqrt{x^{2} - 4x + 4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$。
根据绝对值的零点$x=-3$，$x=1$，$x=2$分区间讨论：
1. 当$x＜-3$时，$x+3＜0$，$x-1＜0$，$x-2＜0$，
原式$=-(x+3)-(x-1)-[-(x-2)]=-x-4$；
2. 当$-3≤x≤1$时，$x+3≥0$，$x-1≤0$，$x-2＜0$，
原式$=(x+3)-(x-1)-[-(x-2)]=x+2$；
3. 当$1＜x≤2$时，$x+3＞0$，$x-1＞0$，$x-2≤0$，
原式$=(x+3)+(x-1)-[-(x-2)]=3x$；
4. 当$x＞2$时，$x+3＞0$，$x-1＞0$，$x-2＞0$，
原式$=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4$。
【答案】
当$x＜-3$时，原式$=-x-4$；
当$-3≤ x≤ 1$时，原式$=x+2$；
当$1＜x≤ 2$时，原式$=3x$；
当$x＞2$时，原式$=x+4$。
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、分类讨论思想
【点评】
本题需先通过配方将二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值的零点划分区间进行分类讨论，关键是准确确定讨论区间及端点的取值，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.3
先将各二次根式内的式子配方，转化为绝对值形式：
$\sqrt{x^{2} + 6x + 9}=\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|$，
$\sqrt{x^{2} - 2x + 1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，
$\sqrt{x^{2} - 4x + 4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$。
根据绝对值的零点$x=-3$，$x=1$，$x=2$分区间讨论：
1. 当$x＜-3$时，$x+3＜0$，$x-1＜0$，$x-2＜0$，
原式$=-(x+3)-(x-1)-[-(x-2)]=-x-4$；
2. 当$-3≤x≤1$时，$x+3≥0$，$x-1≤0$，$x-2＜0$，
原式$=(x+3)-(x-1)-[-(x-2)]=x+2$；
3. 当$1＜x≤2$时，$x+3＞0$，$x-1＞0$，$x-2≤0$，
原式$=(x+3)+(x-1)-[-(x-2)]=3x$；
4. 当$x＞2$时，$x+3＞0$，$x-1＞0$，$x-2＞0$，
原式$=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4$。
【答案】
当$x＜-3$时，原式$=-x-4$；
当$-3≤ x≤ 1$时，原式$=x+2$；
当$1＜x≤ 2$时，原式$=3x$；
当$x＞2$时，原式$=x+4$。
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、分类讨论思想
【点评】
本题需先通过配方将二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值的零点划分区间进行分类讨论，关键是准确确定讨论区间及端点的取值，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.3
7. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
(1)$\sqrt{54}$；
(2)$\sqrt{0.1}$；
(3)$-\sqrt{\dfrac{27}{125}}$；
(4)$\sqrt{\dfrac{0.01×144}{0.36×81}}$.
(1)$\sqrt{54}$；
(2)$\sqrt{0.1}$；
(3)$-\sqrt{\dfrac{27}{125}}$；
(4)$\sqrt{\dfrac{0.01×144}{0.36×81}}$.
答案
解: (1) 原式$=3\sqrt{6}$. (2) 原式$=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
(3) 原式$=-\frac{3}{25}\sqrt{15}$. (4) 原式$=\frac{2}{9}$.
(3) 原式$=-\frac{3}{25}\sqrt{15}$. (4) 原式$=\frac{2}{9}$.
解析
【解析】
(1) $\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=\sqrt{9}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
(3) $-\sqrt{\frac{27}{125}}=-\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{125}}=-\frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{15}}{25}$；
(4) $\sqrt{\frac{0.01×144}{0.36×81}}=\frac{\sqrt{0.01}×\sqrt{144}}{\sqrt{0.36}×\sqrt{81}}=\frac{0.1×12}{0.6×9}=\frac{2}{9}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{6}$；(2) $\frac{\sqrt{10}}{10}$；(3) $-\frac{3}{25}\sqrt{15}$；(4) $\frac{2}{9}$
【知识点】
二次根式化简、最简二次根式、分母有理化
【点评】
本题为二次根式化简的基础题，需掌握二次根式的性质及分母有理化的方法，将二次根式化为最简形式，注意运算过程中符号与系数的准确性。
【难度系数】
0.8
(1) $\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=\sqrt{9}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
(3) $-\sqrt{\frac{27}{125}}=-\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{125}}=-\frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{15}}{25}$；
(4) $\sqrt{\frac{0.01×144}{0.36×81}}=\frac{\sqrt{0.01}×\sqrt{144}}{\sqrt{0.36}×\sqrt{81}}=\frac{0.1×12}{0.6×9}=\frac{2}{9}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{6}$；(2) $\frac{\sqrt{10}}{10}$；(3) $-\frac{3}{25}\sqrt{15}$；(4) $\frac{2}{9}$
【知识点】
二次根式化简、最简二次根式、分母有理化
【点评】
本题为二次根式化简的基础题，需掌握二次根式的性质及分母有理化的方法，将二次根式化为最简形式，注意运算过程中符号与系数的准确性。
【难度系数】
0.8
8. 先化简，再求值：$2(a + \sqrt{3})(a - \sqrt{3}) - a(a - 6) + 6$，其中$a = \sqrt{2} - 1$.
答案
解: 原式$=a^{2}+6a$.
当$a=\sqrt{2}-1$时, 原式$=4\sqrt{2}-3$.
当$a=\sqrt{2}-1$时, 原式$=4\sqrt{2}-3$.
解析
【解析】
1. 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(a^2 - (\sqrt{3})^2) - a(a - 6) + 6\\&=2a^2 - 6 - a^2 + 6a + 6\end{aligned}$
2. 合并同类项化简：
$\mathrm{原式}=a^2 + 6a$
3. 将$a = \sqrt{2} - 1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{2} - 1)^2 + 6(\sqrt{2} - 1)\\&=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 6\sqrt{2} - 6\\&=4\sqrt{2} - 3\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2} - 3$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，需熟练运用平方差公式、整式运算法则化简，代入求值时注意二次根式的运算细节。
【难度系数】
0.6
1. 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(a^2 - (\sqrt{3})^2) - a(a - 6) + 6\\&=2a^2 - 6 - a^2 + 6a + 6\end{aligned}$
2. 合并同类项化简：
$\mathrm{原式}=a^2 + 6a$
3. 将$a = \sqrt{2} - 1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{2} - 1)^2 + 6(\sqrt{2} - 1)\\&=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 6\sqrt{2} - 6\\&=4\sqrt{2} - 3\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2} - 3$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，需熟练运用平方差公式、整式运算法则化简，代入求值时注意二次根式的运算细节。
【难度系数】
0.6
9. 已知$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，求：
(1)$x^{2} + xy + y^{2}$的值；
(2)$x^{3}y + xy^{3}$的值.
(1)$x^{2} + xy + y^{2}$的值；
(2)$x^{3}y + xy^{3}$的值.
答案
解: (1) 11. (2) 10.
解析
【解析】
先计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$，
$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$。
(1) 对$x^2+xy+y^2$变形：
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$，
代入$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=1$得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 -1=12-1=11$。
(2) 对$x^3y+xy^3$变形：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=xy[(x+y)^2-2xy]$，
代入$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=1$得：
原式$=1×[(2\sqrt{3})^2-2×1]=1×(12-2)=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
二次根式运算，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查二次根式混合运算与代数式求值，通过先计算$x+y$和$xy$，利用整体代入法简化高次项运算，有效降低计算复杂度，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.6
先计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$，
$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$。
(1) 对$x^2+xy+y^2$变形：
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$，
代入$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=1$得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 -1=12-1=11$。
(2) 对$x^3y+xy^3$变形：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=xy[(x+y)^2-2xy]$，
代入$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=1$得：
原式$=1×[(2\sqrt{3})^2-2×1]=1×(12-2)=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
二次根式运算，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查二次根式混合运算与代数式求值，通过先计算$x+y$和$xy$，利用整体代入法简化高次项运算，有效降低计算复杂度，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.6
