登录
例 一个多边形的内角和等于 $1260^{\circ}$，它是几边形？
答案
解：设这个多边形是$n$边形，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，可得方程：
$(n - 2)×180 = 1260$
$n - 2 = 1260÷180$
$n - 2 = 7$
$n = 9$
答：它是九边形。
$(n - 2)×180 = 1260$
$n - 2 = 1260÷180$
$n - 2 = 7$
$n = 9$
答：它是九边形。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆多边形内角和的计算公式：n边形的内角和为$(n - 2)×180°$（其中n为多边形的边数，n≥3且n为整数）。题目已知内角和为1260°，我们可以通过设未知数n，将已知内角和代入公式，列出一元一次方程，然后求解方程得到n的值，即可确定这个多边形的边数。
【解析】
设这个多边形是$n$边形，根据多边形内角和公式可得方程：
$(n - 2)×180 = 1260$
$n - 2 = 1260÷180$
$n - 2 = 7$
$n = 9$
答：它是九边形。
【答案】
九边形
【知识点】
多边形内角和公式、一元一次方程求解
【点评】
本题是多边形内角和公式的基础应用题型，核心是牢记多边形内角和公式，通过设未知数建立方程求解边数，既考察了对多边形内角和定理的掌握，也锻炼了一元一次方程的求解能力，有助于加深对多边形内角和概念的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要回忆多边形内角和的计算公式：n边形的内角和为$(n - 2)×180°$（其中n为多边形的边数，n≥3且n为整数）。题目已知内角和为1260°，我们可以通过设未知数n，将已知内角和代入公式，列出一元一次方程，然后求解方程得到n的值，即可确定这个多边形的边数。
【解析】
设这个多边形是$n$边形，根据多边形内角和公式可得方程：
$(n - 2)×180 = 1260$
$n - 2 = 1260÷180$
$n - 2 = 7$
$n = 9$
答：它是九边形。
【答案】
九边形
【知识点】
多边形内角和公式、一元一次方程求解
【点评】
本题是多边形内角和公式的基础应用题型，核心是牢记多边形内角和公式，通过设未知数建立方程求解边数，既考察了对多边形内角和定理的掌握，也锻炼了一元一次方程的求解能力，有助于加深对多边形内角和概念的理解。
【难度系数】
0.8
1. 选择题：
(1) 若一个多边形的边数增加 1，则它的内角和()。
A. 不变
B. 增加 $90^{\circ}$
C. 增加 $180^{\circ}$
D. 增加 $360^{\circ}$
(2) 小华在计算几个多边形内角和时，分别得到下列 4 个答案：① $180^{\circ}$，② $540^{\circ}$，③ $1900^{\circ}$，④ $180180^{\circ}$。其中，计算正确的是()。
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
(1) 若一个多边形的边数增加 1，则它的内角和()。
A. 不变
B. 增加 $90^{\circ}$
C. 增加 $180^{\circ}$
D. 增加 $360^{\circ}$
(2) 小华在计算几个多边形内角和时，分别得到下列 4 个答案：① $180^{\circ}$，② $540^{\circ}$，③ $1900^{\circ}$，④ $180180^{\circ}$。其中，计算正确的是()。
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
答案
(1)C (2)B
解析
(1) 设原多边形边数为n，内角和为(n-2)×180°。边数增加1后为n+1，内角和为(n+1-2)×180°=(n-1)×180°。增加的度数为(n-1)×180°-(n-2)×180°=180°，选C。
(2) 多边形内角和公式为(n-2)×180°，必是180°的整数倍。①180°=(3-2)×180°，正确；②540°=(5-2)×180°，正确；③1900°÷180°≈10.56，不是整数，错误；④180180°÷180°=1001，1001+2=1003，是多边形内角和，正确。选B。
(2) 多边形内角和公式为(n-2)×180°，必是180°的整数倍。①180°=(3-2)×180°，正确；②540°=(5-2)×180°，正确；③1900°÷180°≈10.56，不是整数，错误；④180180°÷180°=1001，1001+2=1003，是多边形内角和，正确。选B。
2. 填空题：
(1) 每一个内角都是 $160^{\circ}$ 的多边形有条边；
(2) 若一个多边形的内角和是 $3240^{\circ}$，则它的边数是。
(1) 每一个内角都是 $160^{\circ}$ 的多边形有条边；
(2) 若一个多边形的内角和是 $3240^{\circ}$，则它的边数是。
答案
(1) 18；(2) 20。
解析
(1) 设多边形有$n$条边，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，且每个内角都是$160^{\circ}$，则可列方程$160n=(n - 2)×180$，
展开式子得$160n = 180n-360$，
移项得$180n - 160n=360$，
即$20n = 360$，
解得$n = 18$。
(2) 设多边形有$n$条边，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，已知内角和是$3240^{\circ}$，则可列方程$(n - 2)×180=3240$，
两边同时除以$180$得$n - 2=\frac{3240}{180}=18$，
解得$n = 20$。
展开式子得$160n = 180n-360$，
移项得$180n - 160n=360$，
即$20n = 360$，
解得$n = 18$。
(2) 设多边形有$n$条边，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，已知内角和是$3240^{\circ}$，则可列方程$(n - 2)×180=3240$，
两边同时除以$180$得$n - 2=\frac{3240}{180}=18$，
解得$n = 20$。
3. 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？为什么？
答案
另一组对角互补。
理由：四边形内角和为360°。设四边形四个内角为∠A、∠B、∠C、∠D，已知∠A+∠C=180°，则∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°，即另一组对角互补。
理由：四边形内角和为360°。设四边形四个内角为∠A、∠B、∠C、∠D，已知∠A+∠C=180°，则∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°，即另一组对角互补。
解析
【分析】
首先回忆四边形的内角和性质，四边形内角和为360°。题目告知一组对角互补（和为180°），要探究另一组对角的关系，只需用四边形内角和减去这组互补对角的和，即可计算出另一组对角的和，进而得出它们的关系。
【解析】
设四边形的四个内角分别为∠A、∠B、∠C、∠D，已知∠A与∠C互补，即∠A + ∠C = 180°。
因为四边形内角和为360°，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
将∠A + ∠C = 180°代入上式可得：
∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) = 360° - 180° = 180°。
因此∠B与∠D互补，即另一组对角互补。
【答案】
另一组对角互补。
【知识点】
四边形内角和定理、互补的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心考察对四边形内角和定理及互补概念的掌握，解题思路直观，通过简单的代数运算即可推导结论，能帮助学生巩固基础几何知识，加深对多边形内角和的理解。
【难度系数】
0.9
首先回忆四边形的内角和性质，四边形内角和为360°。题目告知一组对角互补（和为180°），要探究另一组对角的关系，只需用四边形内角和减去这组互补对角的和，即可计算出另一组对角的和，进而得出它们的关系。
【解析】
设四边形的四个内角分别为∠A、∠B、∠C、∠D，已知∠A与∠C互补，即∠A + ∠C = 180°。
因为四边形内角和为360°，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
将∠A + ∠C = 180°代入上式可得：
∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) = 360° - 180° = 180°。
因此∠B与∠D互补，即另一组对角互补。
【答案】
另一组对角互补。
【知识点】
四边形内角和定理、互补的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心考察对四边形内角和定理及互补概念的掌握，解题思路直观，通过简单的代数运算即可推导结论，能帮助学生巩固基础几何知识，加深对多边形内角和的理解。
【难度系数】
0.9
4. 已知两个多边形的边数之比为 $1:2$，内角和的度数之比为 $1:3$，试求这两个多边形的边数。
答案
设两个多边形的边数分别为$n$和$2n$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得两多边形内角和分别为$(n-2)×180°$和$(2n-2)×180°$。
由内角和度数之比为$1:3$，列方程：$\frac{(n-2)×180°}{(2n-2)×180°}=\frac{1}{3}$。
化简得：$\frac{n-2}{2n-2}=\frac{1}{3}$。
交叉相乘：$3(n-2)=2n-2$。
解得：$3n-6=2n-2$，$n=4$。
则另一个多边形边数为$2n=8$。
结论：这两个多边形的边数分别为4和8。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得两多边形内角和分别为$(n-2)×180°$和$(2n-2)×180°$。
由内角和度数之比为$1:3$，列方程：$\frac{(n-2)×180°}{(2n-2)×180°}=\frac{1}{3}$。
化简得：$\frac{n-2}{2n-2}=\frac{1}{3}$。
交叉相乘：$3(n-2)=2n-2$。
解得：$3n-6=2n-2$，$n=4$。
则另一个多边形边数为$2n=8$。
结论：这两个多边形的边数分别为4和8。
解析
【分析】
首先，题目给出两个多边形的边数比和内角和度数比，我们可以通过设未知数建立等量关系求解。先根据边数之比$1:2$，设边数较少的多边形边数为$n$，另一个则为$2n$；再利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$，分别表示出两个多边形的内角和；最后根据内角和度数之比为$1:3$列出方程，解方程求出$n$的值，进而得到两个多边形的边数。
【解析】
设两个多边形的边数分别为$n$和$2n$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得两个多边形的内角和分别为$(n-2)×180°$和$(2n-2)×180°$。
由内角和的度数之比为$1:3$，列方程：
$\frac{(n-2)×180°}{(2n-2)×180°}=\frac{1}{3}$
约去$180°$化简得：
$\frac{n-2}{2n-2}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：
$3(n-2)=2n-2$
去括号：
$3n-6=2n-2$
移项、合并同类项解得：
$n=4$
则另一个多边形的边数为$2n=2×4=8$。
【答案】
这两个多边形的边数分别为4和8。
【知识点】
多边形内角和公式、一元一次方程应用
【点评】
本题考查多边形内角和公式的应用与方程思想的结合，解题关键是根据边数比例合理设未知数，结合内角和比例关系列出方程，需要准确掌握多边形内角和公式，熟练运用一元一次方程的求解步骤。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出两个多边形的边数比和内角和度数比，我们可以通过设未知数建立等量关系求解。先根据边数之比$1:2$，设边数较少的多边形边数为$n$，另一个则为$2n$；再利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$，分别表示出两个多边形的内角和；最后根据内角和度数之比为$1:3$列出方程，解方程求出$n$的值，进而得到两个多边形的边数。
【解析】
设两个多边形的边数分别为$n$和$2n$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得两个多边形的内角和分别为$(n-2)×180°$和$(2n-2)×180°$。
由内角和的度数之比为$1:3$，列方程：
$\frac{(n-2)×180°}{(2n-2)×180°}=\frac{1}{3}$
约去$180°$化简得：
$\frac{n-2}{2n-2}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：
$3(n-2)=2n-2$
去括号：
$3n-6=2n-2$
移项、合并同类项解得：
$n=4$
则另一个多边形的边数为$2n=2×4=8$。
【答案】
这两个多边形的边数分别为4和8。
【知识点】
多边形内角和公式、一元一次方程应用
【点评】
本题考查多边形内角和公式的应用与方程思想的结合，解题关键是根据边数比例合理设未知数，结合内角和比例关系列出方程，需要准确掌握多边形内角和公式，熟练运用一元一次方程的求解步骤。
【难度系数】
0.7
