1. 下列各组数中，是勾股数的是()

A.$ 4,5,6 $
B.$ 1,\sqrt{2},\sqrt{3} $
C.$ 9,12,15 $
D.$ 0.3,0.4,0.5 $

C

勾股数是指满足勾股定理的三个正整数。A选项，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不是勾股数；B选项，$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是整数，不是勾股数；C选项，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，且都是正整数，是勾股数；D选项，0.3、0.4、0.5不是整数，不是勾股数。

2. 已知 $ a,b,c $ 为一组勾股数.下列各组数中，仍为勾股数的是()

A.$ a,2b,3c $
B.$ 3a,4b,5c $
C.$ 2a,2b,2c $
D.$ a^{2},b^{2},c^{2} $

C

设$a^2 + b^2 = c^2$（$a,b,c$为正整数）。
选项A：$a^2 + (2b)^2 = a^2 + 4b^2$，$(3c)^2 = 9c^2 = 9(a^2 + b^2)$，$a^2 + 4b^2≠9(a^2 + b^2)$，不是勾股数。
选项B：$(3a)^2 + (4b)^2 = 9a^2 + 16b^2$，$(5c)^2 = 25c^2 = 25(a^2 + b^2)$，$9a^2 + 16b^2≠25(a^2 + b^2)$，不是勾股数。
选项C：$(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2) = 4c^2 = (2c)^2$，是勾股数。
选项D：$(a^2)^2 + (b^2)^2 = a^4 + b^4$，$(c^2)^2 = c^4 = (a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$，$a^4 + b^4≠ a^4 + 2a^2b^2 + b^4$，不是勾股数。

3. 如图，一艘轮船以 $ 16 \mathrm{ n mile/h} $ 的速度离开港口 $ O $，向北偏东 $ 40^{\circ} $ 方向航行，另一艘轮船同时以 $ 12 \mathrm{ n mile/h} $ 的速度从港口 $ O $ 出发，向北偏西某一角度的航向行驶.经过 $ 1.5 \mathrm{ h} $，这两艘轮船相距 $ 30 \mathrm{ n mile} $(即 $ BA = 30 \mathrm{ n mile} $)，则另一艘轮船航行的方向是北偏西()


A.$ 40^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 55^{\circ} $

C

由题意，一艘轮船以$16 \mathrm{ n mile/h}$的速度航行$1.5$小时，
所以$OA = 16 × 1.5 = 24(\mathrm{ n mile})$，
另一艘轮船以$12\mathrm{ n mile/h}$的速度航行$1.5$小时，
所以$OB = 12 × 1.5 = 18(\mathrm{ n mile})$，
两艘轮船相距$30\mathrm{ n mile}$，即$AB = 30 \mathrm{ n mile}$。
在$△ AOB$中，利用勾股定理的逆定理，
若$OA^2 + OB^2 = AB^2$，则$∠ AOB$为直角。
代入数值计算：
$24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$，
$AB^2 = 30^2 = 900$，
由于$OA^2 + OB^2 = AB^2$，
所以$∠ AOB = 90°$，
即两艘轮船的航向互相垂直。
由于一艘轮船向北偏东$40°$方向航行，
所以另一艘轮船的航行方向为北偏西$50°$。
故答案为：C。

4. 有五根小木棒，长度分别为 $ 7,15,20,24,25 $.将它们摆成两个直角三角形，其中正确的摆法是()

要将长度为7,15,20,24,25的五根小木棒摆成两个直角三角形，需满足两组三角形均符合勾股定理逆定理，且共用一根公共边（因五根木棒需组成两个三角形，必共用一边）。
步骤1：验证可能的直角三角形组合
根据勾股定理逆定理（$a^2 + b^2 = c^2$）：
$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，故7,24,25是直角三角形。
$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，故15,20,25是直角三角形。
步骤2：确定公共边
两组三角形（7,24,25）和（15,20,25）共用边25，恰好使用五根木棒（7,15,20,24,25），无重复。
结论
正确摆法为两个直角三角形共用边25，分别为（7,24,25）和（15,20,25）。
D