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3. (2024·无锡) 一些相同的房间需要粉刷墙面. 一天,$3$ 名一级技工去粉刷 $8$ 个房间,结果其中有 $50\mathrm{m}^2$ 墙面未来得及粉刷,同样时间内 $5$ 名二级技工除粉刷了 $10$ 个房间之外,还多粉刷了另外的 $40\mathrm{m}^2$ 墙面. 已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷 $10\mathrm{m}^2$ 墙面,设每个房间需要粉刷的墙面面积为 $x\mathrm{m}^2$,则下列方程正确的是( )
A.$\frac{3x - 50}{8}= \frac{5(x - 10)+40}{10}$
B.$\frac{3x + 50}{8}= \frac{5(x - 10)-40}{10}$
C.$\frac{8x - 50}{3}= \frac{10x + 40}{5}+10$
D.$\frac{8x + 50}{3}= \frac{10x - 40}{5}+10$
A.$\frac{3x - 50}{8}= \frac{5(x - 10)+40}{10}$
B.$\frac{3x + 50}{8}= \frac{5(x - 10)-40}{10}$
C.$\frac{8x - 50}{3}= \frac{10x + 40}{5}+10$
D.$\frac{8x + 50}{3}= \frac{10x - 40}{5}+10$
答案
C
解析
【分析】
本题是一元一次方程应用的工程类问题，解题思路如下：首先明确设每个房间需粉刷墙面面积为$x\mathrm{m}^2$，第一步先分别表示出每名一级技工、每名二级技工一天的粉刷面积；第二步抓住题目给出的等量关系“每名一级技工比二级技工一天多粉刷$10\mathrm{m}^2$墙面”列方程即可。
首先算每名一级技工日粉刷面积：3名一级技工粉刷8个房间，少$50\mathrm{m}^2$没刷，所以3人总粉刷面积为8个房间总面积减去未粉刷的$50\mathrm{m}^2$，即$8x-50$，除以人数3就得到每名一级技工日粉刷面积。
再算每名二级技工日粉刷面积：5名二级技工粉刷10个房间还多刷$40\mathrm{m}^2$，所以5人总粉刷面积为10个房间总面积加上多刷的$40\mathrm{m}^2$，即$10x+40$，除以人数5就得到每名二级技工日粉刷面积。
最后根据“一级技工日粉刷面积=二级技工日粉刷面积+10”列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x\mathrm{m}^2$。
1. 计算每名一级技工一天的粉刷面积：
3名一级技工总粉刷面积 = 8个房间总墙面面积 - 未粉刷的$50\mathrm{m}^2$ = $8x - 50$
则每名一级技工日粉刷面积为：$\frac{8x - 50}{3}$
2. 计算每名二级技工一天的粉刷面积：
5名二级技工总粉刷面积 = 10个房间总墙面面积 + 多粉刷的$40\mathrm{m}^2$ = $10x + 40$
则每名二级技工日粉刷面积为：$\frac{10x + 40}{5}$
3. 根据等量关系“每名一级技工比二级技工一天多粉刷$10\mathrm{m}^2$墙面”列方程：
$\frac{8x - 50}{3}= \frac{10x + 40}{5}+10$
与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 工程问题
【点评】
本题属于典型的实际问题列方程类题目，解题核心是准确提取题干信息，正确表示出不同主体的单位工作量，再紧扣题干给出的等量关系列方程即可，考察读题分析和信息转化的能力。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程应用的工程类问题，解题思路如下：首先明确设每个房间需粉刷墙面面积为$x\mathrm{m}^2$，第一步先分别表示出每名一级技工、每名二级技工一天的粉刷面积；第二步抓住题目给出的等量关系“每名一级技工比二级技工一天多粉刷$10\mathrm{m}^2$墙面”列方程即可。
首先算每名一级技工日粉刷面积：3名一级技工粉刷8个房间，少$50\mathrm{m}^2$没刷，所以3人总粉刷面积为8个房间总面积减去未粉刷的$50\mathrm{m}^2$，即$8x-50$，除以人数3就得到每名一级技工日粉刷面积。
再算每名二级技工日粉刷面积：5名二级技工粉刷10个房间还多刷$40\mathrm{m}^2$，所以5人总粉刷面积为10个房间总面积加上多刷的$40\mathrm{m}^2$，即$10x+40$，除以人数5就得到每名二级技工日粉刷面积。
最后根据“一级技工日粉刷面积=二级技工日粉刷面积+10”列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x\mathrm{m}^2$。
1. 计算每名一级技工一天的粉刷面积：
3名一级技工总粉刷面积 = 8个房间总墙面面积 - 未粉刷的$50\mathrm{m}^2$ = $8x - 50$
则每名一级技工日粉刷面积为：$\frac{8x - 50}{3}$
2. 计算每名二级技工一天的粉刷面积：
5名二级技工总粉刷面积 = 10个房间总墙面面积 + 多粉刷的$40\mathrm{m}^2$ = $10x + 40$
则每名二级技工日粉刷面积为：$\frac{10x + 40}{5}$
3. 根据等量关系“每名一级技工比二级技工一天多粉刷$10\mathrm{m}^2$墙面”列方程：
$\frac{8x - 50}{3}= \frac{10x + 40}{5}+10$
与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 工程问题
【点评】
本题属于典型的实际问题列方程类题目，解题核心是准确提取题干信息，正确表示出不同主体的单位工作量，再紧扣题干给出的等量关系列方程即可，考察读题分析和信息转化的能力。
【难度系数】
0.7
4. 某工厂一车间有 $40$ 名工人,其中男工人人数比女工人人数的 $2$ 倍少 $5$ 人. 某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务,每个工人每天能加工 $10$ 个甲种零件或 $5$ 个乙种零件. 已知 $4$ 个甲种零件和 $3$ 个乙种零件可以组装成一个丙种零件.
(1) 该车间男、女工人各有多少人？
(2) 该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件,能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好全部组装成丙种零件？
(1) 该车间男、女工人各有多少人？
(2) 该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件,能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好全部组装成丙种零件？
答案
(1)设该车间有女工人x人,则男工人有(2x-5)人.
根据题意,得x+(2x-5)=40,
解得x=15,则2x-5=25(人).
答:该车间男工人有25人,女工人有15人.
(2)设该车间安排y名工人加工甲种零件,则安排(40-y)名工人加工乙种零件.
根据题意,得3×10y=4×5(40-y),
解得y=16,则40-y=24.
答:该车间安排16名工人加工甲种零件,安排24名工人加工乙种零件,能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好全部组装成两种零件.
解析
【分析】
(1) 第一问是和差倍分类应用题，已知车间总人数以及男、女工人的数量关系，我们可以先设女工人人数为未知数，用含未知数的式子表示男工人人数，再根据“男工人人数+女工人人数=总人数”的等量关系列一元一次方程求解。
(2) 第二问是配套类应用题，解题核心是找准甲、乙零件的配套比例：4个甲零件和3个乙零件配套，说明甲零件总数×3=乙零件总数×4。我们设加工甲零件的工人数为未知数，用总人数减去该数得到加工乙零件的工人数，分别表示出每天生产的甲、乙零件总数后，代入配套等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设该车间有女工人$x$人，则男工人有$(2x-5)$人。
根据总人数为40人，列方程：
$x+(2x-5)=40$
合并同类项得：$3x-5=40$
移项得：$3x=45$
解得：$x=15$
则男工人人数为$2x-5=2×15-5=25$（人）
(2) 设该车间安排$y$名工人加工甲种零件，则安排$(40-y)$名工人加工乙种零件。
每天加工甲零件总数为$10y$个，每天加工乙零件总数为$5(40-y)$个，根据配套要求列方程：
$3×10y=4×5(40-y)$
化简得：$30y=20(40-y)$
去括号得：$30y=800-20y$
移项合并得：$50y=800$
解得：$y=16$
则加工乙种零件的工人人数为$40-16=24$（人）
【答案】
(1) 男工人有25人，女工人有15人；
(2) 安排16名工人加工甲种零件，24名工人加工乙种零件。
【知识点】
一元一次方程的应用，和差倍分问题，配套问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，第一问难度较低，只要准确梳理两个未知量的数量关系即可顺利列方程求解；第二问的易错点是容易颠倒配套的比例关系，解题时只要牢牢抓住配套时两类零件的数量对应关系，就能正确列方程解题。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是和差倍分类应用题，已知车间总人数以及男、女工人的数量关系，我们可以先设女工人人数为未知数，用含未知数的式子表示男工人人数，再根据“男工人人数+女工人人数=总人数”的等量关系列一元一次方程求解。
(2) 第二问是配套类应用题，解题核心是找准甲、乙零件的配套比例：4个甲零件和3个乙零件配套，说明甲零件总数×3=乙零件总数×4。我们设加工甲零件的工人数为未知数，用总人数减去该数得到加工乙零件的工人数，分别表示出每天生产的甲、乙零件总数后，代入配套等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设该车间有女工人$x$人，则男工人有$(2x-5)$人。
根据总人数为40人，列方程：
$x+(2x-5)=40$
合并同类项得：$3x-5=40$
移项得：$3x=45$
解得：$x=15$
则男工人人数为$2x-5=2×15-5=25$（人）
(2) 设该车间安排$y$名工人加工甲种零件，则安排$(40-y)$名工人加工乙种零件。
每天加工甲零件总数为$10y$个，每天加工乙零件总数为$5(40-y)$个，根据配套要求列方程：
$3×10y=4×5(40-y)$
化简得：$30y=20(40-y)$
去括号得：$30y=800-20y$
移项合并得：$50y=800$
解得：$y=16$
则加工乙种零件的工人人数为$40-16=24$（人）
【答案】
(1) 男工人有25人，女工人有15人；
(2) 安排16名工人加工甲种零件，24名工人加工乙种零件。
【知识点】
一元一次方程的应用，和差倍分问题，配套问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，第一问难度较低，只要准确梳理两个未知量的数量关系即可顺利列方程求解；第二问的易错点是容易颠倒配套的比例关系，解题时只要牢牢抓住配套时两类零件的数量对应关系，就能正确列方程解题。
【难度系数】
0.8
5. 某工厂需要生产一批太空漫步者(如图所示),每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成. 工厂现共有 $45$ 名工人,每人每天平均生产 $60$ 个支架或 $96$ 套脚踏板.
(1) 应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2) 若每套太空漫步者的成本为 $240$ 元,要达到 $20\%$ 的利润率,则每套应定价为多少元？
(1) 应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2) 若每套太空漫步者的成本为 $240$ 元,要达到 $20\%$ 的利润率,则每套应定价为多少元？
答案
(1)设x名工人生产支架,则(45-x)名工人生产脚踏板.
由题意,得2×60x=96(45-x),解得x=20.
所以45-20=25(名).
答:20名工人生产支架,25名工人生产脚踏板正好配套.
(2)设每套应定价a元.
由题意,可得a-240=240×20%,
解得a=288.
答:每套应定价288元,可达到20%的利润率.
解析
【分析】
(1) 本题为配套类应用题，解题核心是理清配套数量关系：1个支架需要搭配2套脚踏板，即生产的脚踏板总数量=2×生产的支架总数量时恰好配套。我们设生产支架的工人数为x，那么生产脚踏板的工人数为总人数45减去x，再分别表示出每天生产的支架总数和脚踏板总数，根据上述等量关系列方程求解即可。
(2) 本题为销售利润类应用题，解题核心是明确利润相关的等量关系：利润=成本×利润率，同时利润=售价-成本。我们设每套定价为a元，根据上述关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设分配x名工人生产支架，则分配(45-x)名工人生产脚踏板。
由配套的数量关系可列方程：
$2× 60x=96(45-x)$
展开得：$120x=4320-96x$
移项合并同类项得：$216x=4320$
解得：$x=20$
则生产脚踏板的工人数为$45-20=25$（名）
(2) 设每套太空漫步者应定价为a元。
根据利润相关等量关系列方程：
$a-240=240× 20\%$
计算得：$a-240=48$
解得：$a=288$
【答案】
(1) 分配20名工人生产支架，25名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套；
(2) 每套应定价为288元。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题、销售利润计算
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的典型基础题型，第一问解题的关键是准确把握配套的数量比例，避免将倍数关系写反；第二问只要熟练掌握销售问题中成本、售价、利润率的基本关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为配套类应用题，解题核心是理清配套数量关系：1个支架需要搭配2套脚踏板，即生产的脚踏板总数量=2×生产的支架总数量时恰好配套。我们设生产支架的工人数为x，那么生产脚踏板的工人数为总人数45减去x，再分别表示出每天生产的支架总数和脚踏板总数，根据上述等量关系列方程求解即可。
(2) 本题为销售利润类应用题，解题核心是明确利润相关的等量关系：利润=成本×利润率，同时利润=售价-成本。我们设每套定价为a元，根据上述关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设分配x名工人生产支架，则分配(45-x)名工人生产脚踏板。
由配套的数量关系可列方程：
$2× 60x=96(45-x)$
展开得：$120x=4320-96x$
移项合并同类项得：$216x=4320$
解得：$x=20$
则生产脚踏板的工人数为$45-20=25$（名）
(2) 设每套太空漫步者应定价为a元。
根据利润相关等量关系列方程：
$a-240=240× 20\%$
计算得：$a-240=48$
解得：$a=288$
【答案】
(1) 分配20名工人生产支架，25名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套；
(2) 每套应定价为288元。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题、销售利润计算
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的典型基础题型，第一问解题的关键是准确把握配套的数量比例，避免将倍数关系写反；第二问只要熟练掌握销售问题中成本、售价、利润率的基本关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. $9$ 人 $14$ 天完成一项工作的 $\frac{3}{5}$,而剩下的工作要在 $4$ 天内完成,则需增加的人数(假设每个人的工作效率都相同)为( )
A.$11$
B.$12$
C.$13$
D.$14$
A.$11$
B.$12$
C.$13$
D.$14$
答案
B 解析:设需增加x人.
根据题意,得$\frac{\frac{3}{5}}{9×14}×(x+9)×4=1-\frac{3}{5}$.
解得x=12.
根据题意,得$\frac{\frac{3}{5}}{9×14}×(x+9)×4=1-\frac{3}{5}$.
解得x=12.
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是抓住“单人工作效率相同”的条件，按照“先求单人工作效率，再根据剩余工作量列等量关系”的思路求解。工程问题中通常将总工作量看作单位1，核心公式为：工作总量=单人工作效率×人数×工作时间。第一步先根据9人14天完成$\frac{3}{5}$的已知条件，求出单人每天的工作效率；第二步设需增加x人，利用“单人效率×总人数×剩余工作时间=剩余工作量”的等量关系列一元一次方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设需增加$x$人。
先计算单人每天的工作效率：9人14天完成工作的$\frac{3}{5}$，因此单人每天的效率为$\frac{\frac{3}{5}}{9×14}$。
剩余工作量为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，剩余工作时间为4天，参与工作的总人数为$(x+9)$人，根据工作总量的等量关系列方程：
$\frac{\frac{3}{5}}{9×14}×(x+9)×4=1-\frac{3}{5}$
化简求解：
1. 先化简左边系数、整理右边：$\frac{2}{105}(x+9)=\frac{2}{5}$
2. 两边同时除以2得：$\frac{1}{105}(x+9)=\frac{1}{5}$
3. 两边同时乘105得：$x+9=21$
4. 解得：$x=12$
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、工作效率计算
【点评】
本题是工程问题的基础常规题型，解题关键是牢记工程问题的基本公式，抓住单人工作效率不变的隐含条件，找到剩余工作量对应的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题核心是抓住“单人工作效率相同”的条件，按照“先求单人工作效率，再根据剩余工作量列等量关系”的思路求解。工程问题中通常将总工作量看作单位1，核心公式为：工作总量=单人工作效率×人数×工作时间。第一步先根据9人14天完成$\frac{3}{5}$的已知条件，求出单人每天的工作效率；第二步设需增加x人，利用“单人效率×总人数×剩余工作时间=剩余工作量”的等量关系列一元一次方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设需增加$x$人。
先计算单人每天的工作效率：9人14天完成工作的$\frac{3}{5}$，因此单人每天的效率为$\frac{\frac{3}{5}}{9×14}$。
剩余工作量为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，剩余工作时间为4天，参与工作的总人数为$(x+9)$人，根据工作总量的等量关系列方程：
$\frac{\frac{3}{5}}{9×14}×(x+9)×4=1-\frac{3}{5}$
化简求解：
1. 先化简左边系数、整理右边：$\frac{2}{105}(x+9)=\frac{2}{5}$
2. 两边同时除以2得：$\frac{1}{105}(x+9)=\frac{1}{5}$
3. 两边同时乘105得：$x+9=21$
4. 解得：$x=12$
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、工作效率计算
【点评】
本题是工程问题的基础常规题型，解题关键是牢记工程问题的基本公式，抓住单人工作效率不变的隐含条件，找到剩余工作量对应的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
