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7. 在某城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标. 经测算：甲队单独完成这项工程需要 $60$ 天,乙队单独完成这项工程需要 $90$ 天. 若由甲队先做 $20$ 天,剩下的工程由甲、乙两队合作完成.
(1) 甲、乙两队合作多少天？
(2) 甲队施工一天需付工程款 $3.5$ 万元,乙队施工一天需付工程款 $2$ 万元. 若该工程计划在 $70$ 天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
(1) 甲、乙两队合作多少天？
(2) 甲队施工一天需付工程款 $3.5$ 万元,乙队施工一天需付工程款 $2$ 万元. 若该工程计划在 $70$ 天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
答案
(1)设甲、乙两队合作x天.
根据题意,得$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})x+\frac{20}{60}=1$.
解得x=24.
答:甲、乙两队合作24天.
(2)设甲、乙两队全程合作完成需y天.
根据题意,得$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})y=1$.
解得y=36.
①甲队单独完成需付工程款为60×3.5=210(万元);
②乙队单独完成超过计划天数,不符合题意;
③甲、乙两队全程合作完成需付工程款为36×(3.5+2)=198(万元).
答:在不超过计划天数的前提下,由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱.
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，可得甲的工作效率为$\frac{1}{60}$，乙的工作效率为$\frac{1}{90}$。(1)问的等量关系为：甲单独做20天的工作量+甲乙合作x天的工作量=总工作量1，据此列方程即可求解。(2)问需先判断各施工方案是否符合70天的工期要求，再计算符合要求方案的工程款，比较后得出最省钱的方案。
【解析】
(1) 设甲、乙两队合作$x$天。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})x+\frac{20}{60}=1$
化简得$\frac{1}{36}x=\frac{2}{3}$，解得$x=24$。
(2) 设甲、乙两队全程合作完成需$y$天。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})y=1$
解得$y=36$，$36＜70$，符合工期要求。
分别计算符合要求方案的工程款：
① 甲队单独完成：工期60天＜70天，工程款为$60×3.5=210$（万元）；
② 乙队单独完成：工期90天＞70天，不符合计划天数要求，舍去；
③ 甲乙两队全程合作完成：工程款为$36×(3.5+2)=198$（万元）。
对比得$198＜210$，因此全程合作更省钱。
【答案】
(1) 甲、乙两队合作24天；
(2) 在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，方案优化选择
【点评】
本题是工程问题的常规考法，核心是掌握“将总工作量看作单位1”的技巧，利用“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程求解，解题时需注意题干中的限制条件，先排除不符合要求的方案，再进行费用比较即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，可得甲的工作效率为$\frac{1}{60}$，乙的工作效率为$\frac{1}{90}$。(1)问的等量关系为：甲单独做20天的工作量+甲乙合作x天的工作量=总工作量1，据此列方程即可求解。(2)问需先判断各施工方案是否符合70天的工期要求，再计算符合要求方案的工程款，比较后得出最省钱的方案。
【解析】
(1) 设甲、乙两队合作$x$天。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})x+\frac{20}{60}=1$
化简得$\frac{1}{36}x=\frac{2}{3}$，解得$x=24$。
(2) 设甲、乙两队全程合作完成需$y$天。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})y=1$
解得$y=36$，$36＜70$，符合工期要求。
分别计算符合要求方案的工程款：
① 甲队单独完成：工期60天＜70天，工程款为$60×3.5=210$（万元）；
② 乙队单独完成：工期90天＞70天，不符合计划天数要求，舍去；
③ 甲乙两队全程合作完成：工程款为$36×(3.5+2)=198$（万元）。
对比得$198＜210$，因此全程合作更省钱。
【答案】
(1) 甲、乙两队合作24天；
(2) 在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，方案优化选择
【点评】
本题是工程问题的常规考法，核心是掌握“将总工作量看作单位1”的技巧，利用“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程求解，解题时需注意题干中的限制条件，先排除不符合要求的方案，再进行费用比较即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
8. 小敏和小强假期到某厂参加社会实践,该工厂用白板纸做包装盒,每张白板纸做盒身 $2$ 个或者盒盖 $3$ 个,且 $1$ 个盒身和 $2$ 个盒盖恰好做成 $1$ 个包装盒. 为了充分利用材料,要求做成的盒身和盒盖正好配套.
(1) 现有 $14$ 张白板纸,最多可做几个包装盒(用一元一次方程解答)？
(2) 现有 $27$ 张白板纸,最多可做几个包装盒？
为了解决以上问题,小敏和小强各设计了一种解决方案：
小敏：把这些白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖；
小强：先把 $1$ 张白板纸适当裁出 $1$ 个盒身和 $1$ 个盒盖,其余的 $26$ 张白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖.
请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行,求出最多可做包装盒的个数；若不可行,请说明理由.
(1) 现有 $14$ 张白板纸,最多可做几个包装盒(用一元一次方程解答)？
(2) 现有 $27$ 张白板纸,最多可做几个包装盒？
为了解决以上问题,小敏和小强各设计了一种解决方案：
小敏：把这些白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖；
小强：先把 $1$ 张白板纸适当裁出 $1$ 个盒身和 $1$ 个盒盖,其余的 $26$ 张白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖.
请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行,求出最多可做包装盒的个数；若不可行,请说明理由.
答案
(1)设x张白板纸做盒身,则(14-x)张做盒盖.
根据题意,得2x×2=3(14-x),
解得x=6,2x=12.
答:最多可做12个包装盒.
(2)小敏的方案不可行.理由如下:
设a张白板纸做盒身.
根据题意,得2a×2=3×(27-a),
解得a=$\frac{81}{7}$,不符合题意.
小强的方案可行.设26张白板纸中y张做盒身.
根据题意,得2(2y+1)=3(26-y)+1,
解得y=11,11×2+1=22+1=23(个).
答:最多做23个包装盒.
解析
【分析】
本题属于一元一次方程配套应用问题，解题核心是抓住“1个盒身配2个盒盖，即盒盖总数量=2×盒身总数量”的等量关系列方程求解，同时注意实际问题中纸张数必须为正整数，解要符合实际意义。
(1) 第一问已知总纸张数，可设做盒身的纸张数为x，剩余纸张做盒盖，根据配套等量关系列一元一次方程求解，再计算包装盒总数即可。
(2) 小敏的方案和第一问思路一致，列方程后若解得的纸张数不是整数，则不符合实际，方案不可行；小强的方案先明确已额外得到1个盒身和1个盒盖，再设剩余26张中做盒身的纸张数为y，分别表示出总盒身数和总盒盖数，根据配套关系列方程，若解为整数则方案可行，再计算包装盒总数。
【解析】
(1) 设用x张白板纸做盒身，则用$(14-x)$张白板纸做盒盖。
根据配套要求“盒盖总数量=2×盒身总数量”，列方程：
$2× 2x = 3(14-x)$
展开得：$4x = 42 - 3x$
移项合并同类项得：$7x = 42$
解得：$x=6$
可做盒身的数量为$2x=2×6=12$个，对应可做12个包装盒。
(2) 探究小敏的方案：
设用a张白板纸做盒身，则用$(27-a)$张做盒盖，根据配套关系列方程：
$2× 2a = 3(27-a)$
展开得：$4a = 81 - 3a$
解得：$a=\frac{81}{7}$
由于纸张数必须为正整数，$\frac{81}{7}$不符合实际要求，因此小敏的方案不可行。
探究小强的方案：
设剩余26张白板纸中用y张做盒身，则用$(26-y)$张做盒盖，此时总盒身数量为$(2y+1)$个，总盒盖数量为$[3(26-y)+1]$个，根据配套关系列方程：
$2(2y + 1) = 3(26 - y) + 1$
展开得：$4y + 2 = 78 - 3y + 1$
移项合并同类项得：$7y = 77$
解得：$y=11$
总盒身数量为$2×11 +1=23$个，对应可做包装盒23个，解符合实际要求，因此小强的方案可行。
【答案】
(1) 最多可做12个包装盒；
(2) 小敏的方案不可行，小强的方案可行，最多可做23个包装盒。
【知识点】
一元一次方程的应用，配套问题，方案可行性判断
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题的关键是准确梳理配套的数量关系建立方程，同时要注意实际问题的解必须符合现实要求，本题小强的方案体现了灵活分配材料、提高资源利用率的思路，能很好地考查学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题属于一元一次方程配套应用问题，解题核心是抓住“1个盒身配2个盒盖，即盒盖总数量=2×盒身总数量”的等量关系列方程求解，同时注意实际问题中纸张数必须为正整数，解要符合实际意义。
(1) 第一问已知总纸张数，可设做盒身的纸张数为x，剩余纸张做盒盖，根据配套等量关系列一元一次方程求解，再计算包装盒总数即可。
(2) 小敏的方案和第一问思路一致，列方程后若解得的纸张数不是整数，则不符合实际，方案不可行；小强的方案先明确已额外得到1个盒身和1个盒盖，再设剩余26张中做盒身的纸张数为y，分别表示出总盒身数和总盒盖数，根据配套关系列方程，若解为整数则方案可行，再计算包装盒总数。
【解析】
(1) 设用x张白板纸做盒身，则用$(14-x)$张白板纸做盒盖。
根据配套要求“盒盖总数量=2×盒身总数量”，列方程：
$2× 2x = 3(14-x)$
展开得：$4x = 42 - 3x$
移项合并同类项得：$7x = 42$
解得：$x=6$
可做盒身的数量为$2x=2×6=12$个，对应可做12个包装盒。
(2) 探究小敏的方案：
设用a张白板纸做盒身，则用$(27-a)$张做盒盖，根据配套关系列方程：
$2× 2a = 3(27-a)$
展开得：$4a = 81 - 3a$
解得：$a=\frac{81}{7}$
由于纸张数必须为正整数，$\frac{81}{7}$不符合实际要求，因此小敏的方案不可行。
探究小强的方案：
设剩余26张白板纸中用y张做盒身，则用$(26-y)$张做盒盖，此时总盒身数量为$(2y+1)$个，总盒盖数量为$[3(26-y)+1]$个，根据配套关系列方程：
$2(2y + 1) = 3(26 - y) + 1$
展开得：$4y + 2 = 78 - 3y + 1$
移项合并同类项得：$7y = 77$
解得：$y=11$
总盒身数量为$2×11 +1=23$个，对应可做包装盒23个，解符合实际要求，因此小强的方案可行。
【答案】
(1) 最多可做12个包装盒；
(2) 小敏的方案不可行，小强的方案可行，最多可做23个包装盒。
【知识点】
一元一次方程的应用，配套问题，方案可行性判断
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题的关键是准确梳理配套的数量关系建立方程，同时要注意实际问题的解必须符合现实要求，本题小强的方案体现了灵活分配材料、提高资源利用率的思路，能很好地考查学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
