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3. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$的值可以是().
A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$1:1:2:2$
D.$2:1:2:1$
A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$1:1:2:2$
D.$2:1:2:1$
答案
D
解析
根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个内角的比值中，第1个与第3个数值需相等，第2个与第4个数值需相等。逐一分析选项，只有D选项满足该条件。
4. 在平面直角坐标系中，$□ ABCD$的三个顶点坐标分别为$A(0,4)$，$B(-5,-1)$，$C(0,-1)$，则点$D$的坐标为().
A.$(5,5)$
B.$(4,5)$
C.$(5,4)$
D.$(4,4)$
A.$(5,5)$
B.$(4,5)$
C.$(5,4)$
D.$(4,4)$
答案
C
解析
利用平行四边形对角线互相平分的性质：
1. 计算AC的中点坐标：A(0,4)，C(0,-1)，中点为$(\frac{0+0}{2},\frac{4+(-1)}{2})=(0,\frac{3}{2})$；
2. 设D(x,y)，BD的中点为$(\frac{-5+x}{2},\frac{-1+y}{2})$，根据中点重合列方程：
$\frac{-5+x}{2}=0$，解得$x=5$；
$\frac{-1+y}{2}=\frac{3}{2}$，解得$y=4$；
因此点D的坐标为(5,4)。
1. 计算AC的中点坐标：A(0,4)，C(0,-1)，中点为$(\frac{0+0}{2},\frac{4+(-1)}{2})=(0,\frac{3}{2})$；
2. 设D(x,y)，BD的中点为$(\frac{-5+x}{2},\frac{-1+y}{2})$，根据中点重合列方程：
$\frac{-5+x}{2}=0$，解得$x=5$；
$\frac{-1+y}{2}=\frac{3}{2}$，解得$y=4$；
因此点D的坐标为(5,4)。
5. 已知$□ ABCD$的周长是100 cm，$AB:BC=4:1$，则$AB$的长是.
答案
$40\ \mathrm{cm}$
解析
∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴$AB=CD$，$AD=BC$，平行四边形周长为$2(AB+BC)$。设$BC=x\ \mathrm{cm}$，则$AB=4x\ \mathrm{cm}$，根据题意得：$2(4x+x)=100$，解得$x=10$，∴$AB=4×10=40\ \mathrm{cm}$。
6. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B=3:2$，则$∠ C=$度，$∠ D=$度.
答案
108；72
解析
根据平行四边形的性质：邻角互补，对角相等。
设∠A=3x，∠B=2x，由平行四边形邻角互补得∠A+∠B=180°，即3x+2x=180°，解得x=36°。
因此∠A=3×36°=108°，∠B=2×36°=72°。
又因为平行四边形对角相等，所以∠C=∠A=108°，∠D=∠B=72°。
设∠A=3x，∠B=2x，由平行四边形邻角互补得∠A+∠B=180°，即3x+2x=180°，解得x=36°。
因此∠A=3×36°=108°，∠B=2×36°=72°。
又因为平行四边形对角相等，所以∠C=∠A=108°，∠D=∠B=72°。
7. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=8$，$AD=5$，$AE$平分$∠ DAB$交$BC$的延长线于点$F$，则$CF$的长是.
答案
3
解析
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC=5$，$AB=8$。
2. 由于$AE$平分$∠ DAB$，可得$∠ DAE=∠ BAF$。
3. 由$AD// BC$，根据内错角相等，得$∠ DAE=∠ F$，因此$∠ BAF=∠ F$，进而$AB=BF=8$。
4. 结合$BF=BC+CF$，代入计算得$CF=BF-BC=8-5=3$。
2. 由于$AE$平分$∠ DAB$，可得$∠ DAE=∠ BAF$。
3. 由$AD// BC$，根据内错角相等，得$∠ DAE=∠ F$，因此$∠ BAF=∠ F$，进而$AB=BF=8$。
4. 结合$BF=BC+CF$，代入计算得$CF=BF-BC=8-5=3$。
8. 如图，在$□ ABCD$中，$BE⊥ AB$交对角线$AC$于点$E$. 若$∠1=20°$，则$∠2$的度数是.
答案
$110°$
解析
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// CD$，因此$∠ BAC=∠ 1=20°$；
2. 由$BE⊥ AB$，可得$∠ ABE=90°$；
3. 根据三角形外角的性质，$∠ 2=∠ BAC+∠ ABE=20°+90°=110°$。
2. 由$BE⊥ AB$，可得$∠ ABE=90°$；
3. 根据三角形外角的性质，$∠ 2=∠ BAC+∠ ABE=20°+90°=110°$。
9. 如图，点$D$，$E$，$F$分别在$△ ABC$的三边$BC$，$AC$，$AB$上，且$DE// AB$，$DF// AC$，$EF// BC$，则图中共有个平行四边形，分别是.
答案
3；$□ AFDE$，$□ BDEF$，$□ CDFE$
解析
根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，结合已知条件判定：
1. 由$DE// AB$，$DF// AC$，可得四边形$AFDE$是平行四边形；
2. 由$DE// AB$，$EF// BC$，可得四边形$BDEF$是平行四边形；
3. 由$DF// AC$，$EF// BC$，可得四边形$CDFE$是平行四边形。
因此图中共有3个平行四边形。
1. 由$DE// AB$，$DF// AC$，可得四边形$AFDE$是平行四边形；
2. 由$DE// AB$，$EF// BC$，可得四边形$BDEF$是平行四边形；
3. 由$DF// AC$，$EF// BC$，可得四边形$CDFE$是平行四边形。
因此图中共有3个平行四边形。
10. 如图，在$□ ABCD$中，$E$是$BC$上一点，且$CD=BE$，$AE$的延长线交$DC$的延长线于点$F$. 若$∠ F=62°$，求$□ ABCD$各内角的度数.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，∠B+∠BCD=180°。
∵ CD=BE，
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=∠AEB。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAE=∠F=62°，
∴ ∠AEB=62°。
在△ABE中，
∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-62°-62°=56°，
∴ ∠D=∠B=56°，
∠BAD=∠BCD=180°-∠B=180°-56°=124°。
答：□ABCD各内角的度数分别为56°，124°，56°，124°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，∠B+∠BCD=180°。
∵ CD=BE，
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=∠AEB。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAE=∠F=62°，
∴ ∠AEB=62°。
在△ABE中，
∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-62°-62°=56°，
∴ ∠D=∠B=56°，
∠BAD=∠BCD=180°-∠B=180°-56°=124°。
答：□ABCD各内角的度数分别为56°，124°，56°，124°。
11. 如图，在$□ ABCD$中，$E$为$BC$的中点，连接$DE$并延长，交$AB$的延长线于点$F$，求证$AB=BF$.
答案
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ $∠ C=∠ EBF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $E$为$BC$的中点，
∴ $CE=BE$。
在$△ CDE$和$△ BFE$中，
$\begin{cases}∠ C=∠ EBF \\CE=BE \\∠ CED=∠ BEF\end{cases}$，
∴ $△ CDE≌△ BFE$（ASA），
∴ $CD=BF$。
又∵ $AB=CD$，
∴ $AB=BF$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ $∠ C=∠ EBF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $E$为$BC$的中点，
∴ $CE=BE$。
在$△ CDE$和$△ BFE$中，
$\begin{cases}∠ C=∠ EBF \\CE=BE \\∠ CED=∠ BEF\end{cases}$，
∴ $△ CDE≌△ BFE$（ASA），
∴ $CD=BF$。
又∵ $AB=CD$，
∴ $AB=BF$。
