例 下面 3 个长方形的面积都是 $ 48 \, \mathrm{dm}^2 $。用这些长方形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？(单位：$\mathrm{dm}$)

分析与解答
第①个长方形：$ π × ( \dfrac{24}{2 π} )^2 × 2 = \dfrac{288}{π} \, (\mathrm{dm}^3) $ $ π × ( \dfrac{2}{2 π} )^2 × 24 = \dfrac{24}{π} \, (\mathrm{dm}^3) $
第②个长方形：
第③个长方形：
我发现：当平面图形的面积一定时，把它卷成一个圆柱，圆柱的底面周长越小，体积越小；圆柱的底面周长越大，体积。

①：
若以长$24dm$为底面周长，$2dm$为高，
则体积$V_1=π×(\frac{24}{2π})^2×2=\frac{288}{π}\approx91.67\,(\mathrm{dm}^3)$；
若以长$2dm$为底面周长，$24dm$为高，
则体积$V_1'=π×(\frac{2}{2π})^2×24=\frac{24}{π}\approx7.64\,(\mathrm{dm}^3)$；
②：
若以长$16dm$为底面周长，$3dm$为高，
则体积$V_2=π×(\frac{16}{2π})^2×3=\frac{192}{π}\approx61.12\,(\mathrm{dm}^3)$；
若以长$3dm$为底面周长，$16dm$为高，
则体积$V_2'=π×(\frac{3}{2π})^2×16=\frac{36}{π}\approx11.46\,(\mathrm{dm}^3)$；
③：
若以长$12dm$为底面周长，$4dm$为高，
则体积$V_3=π×(\frac{12}{2π})^2×4=\frac{144}{π}\approx45.84\,(\mathrm{dm}^3)$；
若以长$4dm$为底面周长，$12dm$为高，
则体积$V_3'=π×(\frac{4}{2π})^2×12=\frac{48}{π}\approx15.28\,(\mathrm{dm}^3)$；
因为$7.64＜11.46＜15.28＜45.84＜61.12＜91.67$。
以长边为底面周长卷成圆柱时体积最小的是③对应的另一种情况（以$4dm$为底面周长）不是最小（还有更小$7.64$），整体比较以$2dm$为底面周长卷成圆柱体积最小；以$24dm$为底面周长卷成圆柱体积最大。
我发现：当平面图形的面积一定时，把它卷成一个圆柱，圆柱的底面周长越小，体积越小；圆柱的底面周长越大，体积越大。
故答案为以$2dm$为底面周长卷成的圆柱体积最小；以$24dm$为底面周长卷成的圆柱体积最大；越大。

1. 图中的这个长方形，以它的哪条边为轴旋转一周后得到的立体图形的体积较大？大多少立方分米？

以$5dm$边为轴旋转一周后得到的立体图形体积较大，大$376.8$立方分米。

以长边$8dm$为轴旋转时：
半径$r = 5dm$，高$h = 8dm$。
体积$V_1=π r^2h=π×5^2×8 = 200π(dm^3)$。
以宽边$5dm$为轴旋转时：
半径$R = 8dm$，高$H = 5dm$。
体积$V_2=π R^2H=π×8^2×5=320π(dm^3)$。
因为$320π＞200π$，所以以宽边$5dm$为轴旋转得到的体积大。
体积差$\Delta V = V_2 - V_1=320π-200π = 120π= 376.8(dm^3)$。

2. 将图中的平行四边形卷起来得到一个圆柱，有几种卷法？卷成的圆柱的体积相差多少立方厘米？

有两种卷法。
卷法一：以12.56cm为底面周长，9cm为高。
底面半径：12.56÷(2×3.14)=2(cm)
体积：3.14×2²×9=113.04(cm³)
卷法二：以9.42cm为底面周长，12cm为高。
底面半径：9.42÷(2×3.14)=1.5(cm)
体积：3.14×1.5²×12=84.78(cm³)
体积差：113.04-84.78=28.26(cm³)
答：有2种卷法，体积相差28.26立方厘米。