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3. 如图，在四边形ABCD中，AB = BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.
(1) 求证：∠ADB = ∠CDB.
(2) 若∠ADC = 90°，求证：四边形MPND是正方形.
(1) 求证：∠ADB = ∠CDB.
(2) 若∠ADC = 90°，求证：四边形MPND是正方形.
答案
(1)易证△ABD≌△CBD(SAS).可得∠ADB=∠CDB
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=90°,∠PND=90°.又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.又∵∠ADB=∠CDB、PM⊥AD、PN⊥CD,∴PM=PN.∴四边形MPND为正方形
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=90°,∠PND=90°.又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.又∵∠ADB=∠CDB、PM⊥AD、PN⊥CD,∴PM=PN.∴四边形MPND为正方形
1. 如图，一个矩形图案由6个正方形组成，设中间小正方形的边长为1，则这个矩形图案的面积是 （ ）
A. 120 B. 132
C. 143 D. 156
A. 120 B. 132
C. 143 D. 156
答案
C(提示:设中下方小正方形边长为x,则BC=3x+1,AD=2x+5,解得x=4)
2. 如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF = 2. 求PD的长.
答案
2(提示:连接BP,则BP=EF,再证△ABP≌△ADP,得PB=PD)
3. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE = BF = CM = DN.
(1) 求证：四边形EFMN是正方形.
(2) 若AB = 7，AE = 3，求四边形EFMN的周长.
(1) 求证：四边形EFMN是正方形.
(2) 若AB = 7，AE = 3，求四边形EFMN的周长.
答案
(1)由AB=BC=CD=AD,AE =BF=CM=DN,可得BE=DM=AN=CF,又由∠A=∠B=∠C=∠D=90°,利用勾股定理,可得EF=FM=MN=EN,且∠NEF=∠EFM=∠FMN=∠ENM=90°,所以四边形EFMN是正方形 (2)由勾股定理,得EF=5,所以周长为20
