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4. 求不等式 $6 - 2x ≥ 2$ 的正整数解。
答案
移项，得 $-2x≥ 2 - 6$，
即$-2x≥ -4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，
得$x≤ 2$，
满足$x≤ 2$的正整数有$1$，$2$，
所以该不等式的正整数解为$1$，$2$。
即$-2x≥ -4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，
得$x≤ 2$，
满足$x≤ 2$的正整数有$1$，$2$，
所以该不等式的正整数解为$1$，$2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先按照一元一次不等式的求解步骤求出解集，再从解集中筛选出正整数解。首先回忆一元一次不等式的解法：先移项，将含未知数的项留在左边，常数项移到右边；接着合并同类项；最后系数化为1，这里要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向需改变。得到解集后，找出其中的正整数即可。
【解析】
移项，得 $-2x≥ 2 - 6$，
即$-2x≥ -4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，
得$x≤ 2$，
满足$x≤ 2$的正整数有$1$，$2$，
所以该不等式的正整数解为$1$，$2$。
【答案】
1，2
【知识点】
一元一次不等式的解法；正整数解的确定
【点评】
解一元一次不等式时，系数化为1若除以负数，务必改变不等号方向；找正整数解时，要明确正整数从1开始，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需先按照一元一次不等式的求解步骤求出解集，再从解集中筛选出正整数解。首先回忆一元一次不等式的解法：先移项，将含未知数的项留在左边，常数项移到右边；接着合并同类项；最后系数化为1，这里要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向需改变。得到解集后，找出其中的正整数即可。
【解析】
移项，得 $-2x≥ 2 - 6$，
即$-2x≥ -4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，
得$x≤ 2$，
满足$x≤ 2$的正整数有$1$，$2$，
所以该不等式的正整数解为$1$，$2$。
【答案】
1，2
【知识点】
一元一次不等式的解法；正整数解的确定
【点评】
解一元一次不等式时，系数化为1若除以负数，务必改变不等号方向；找正整数解时，要明确正整数从1开始，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.9
5. 当 $x$ 或 $y$ 满足什么条件时，下列关系成立？
(1) $4x$ 与 $7$ 的和不小于 $6$；
(2) $2(x + 1)$ 大于或等于 $1$；
(3) $y$ 与 $1$ 的差不大于 $2y$ 与 $3$ 的差；
(4) $3y$ 与 $7$ 的和的 $\frac{1}{4}$ 小于 $-2$。
(1) $4x$ 与 $7$ 的和不小于 $6$；
(2) $2(x + 1)$ 大于或等于 $1$；
(3) $y$ 与 $1$ 的差不大于 $2y$ 与 $3$ 的差；
(4) $3y$ 与 $7$ 的和的 $\frac{1}{4}$ 小于 $-2$。
答案
(1)
根据题意，得$4x + 7 ≥ 6$，
移项，得$4x≥6-7$，
合并同类项，得$4x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{4}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{4}$时，$4x$与$7$的和不小于$6$。
(2)
根据题意，得$2(x + 1) ≥ 1$，
去括号，得$2x + 2 ≥ 1$，
移项，得$2x≥1-2$，
合并同类项，得$2x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{2}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{2}$时，$2(x + 1)$大于或等于$1$。
(3)
根据题意，得$y - 1 ≤ 2y - 3$，
移项，得$y-2y≤-3 + 1$，
合并同类项，得$-y ≤ -2$，
系数化为$1$，得$y ≥ 2$。
所以当$y ≥ 2$时，$y$与$1$的差不大于$2y$与$3$的差。
(4)
根据题意，得$\frac{1}{4}(3y + 7) ＜ -2$，
去分母，两边同乘以$4$，得$3y + 7 ＜ -8$，
移项，得$3y＜-8 - 7$，
合并同类项，得$3y ＜ -15$，
系数化为$1$，得$y ＜ -5$。
所以当$y ＜ -5$时，$3y$与$7$的和的$\frac{1}{4}$小于$-2$。
根据题意，得$4x + 7 ≥ 6$，
移项，得$4x≥6-7$，
合并同类项，得$4x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{4}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{4}$时，$4x$与$7$的和不小于$6$。
(2)
根据题意，得$2(x + 1) ≥ 1$，
去括号，得$2x + 2 ≥ 1$，
移项，得$2x≥1-2$，
合并同类项，得$2x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{2}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{2}$时，$2(x + 1)$大于或等于$1$。
(3)
根据题意，得$y - 1 ≤ 2y - 3$，
移项，得$y-2y≤-3 + 1$，
合并同类项，得$-y ≤ -2$，
系数化为$1$，得$y ≥ 2$。
所以当$y ≥ 2$时，$y$与$1$的差不大于$2y$与$3$的差。
(4)
根据题意，得$\frac{1}{4}(3y + 7) ＜ -2$，
去分母，两边同乘以$4$，得$3y + 7 ＜ -8$，
移项，得$3y＜-8 - 7$，
合并同类项，得$3y ＜ -15$，
系数化为$1$，得$y ＜ -5$。
所以当$y ＜ -5$时，$3y$与$7$的和的$\frac{1}{4}$小于$-2$。
解析
【分析】
这道题是根据文字描述列一元一次不等式并求解的问题，解题思路分为两步：
1. 先将题目中的文字语言转化为数学不等式：“不小于”对应“≥”，“大于或等于”对应“≥”，“不大于”对应“≤”，“小于”对应“＜”，依据每个小题的数量关系列出不等式。
2. 再按照一元一次不等式的标准求解步骤：去括号（去分母）、移项、合并同类项、系数化为1来计算，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向需要改变。
【解析】
(1)
根据题意，得$4x + 7 ≥ 6$，
移项，得$4x≥6-7$，
合并同类项，得$4x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{4}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{4}$时，$4x$与$7$的和不小于$6$。
(2)
根据题意，得$2(x + 1) ≥ 1$，
去括号，得$2x + 2 ≥ 1$，
移项，得$2x≥1-2$，
合并同类项，得$2x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{2}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{2}$时，$2(x + 1)$大于或等于$1$。
(3)
根据题意，得$y - 1 ≤ 2y - 3$，
移项，得$y-2y≤-3 + 1$，
合并同类项，得$-y ≤ -2$，
系数化为$1$，得$y ≥ 2$。
所以当$y ≥ 2$时，$y$与$1$的差不大于$2y$与$3$的差。
(4)
根据题意，得$\frac{1}{4}(3y + 7) ＜ -2$，
去分母，两边同乘以$4$，得$3y + 7 ＜ -8$，
移项，得$3y＜-8 - 7$，
合并同类项，得$3y ＜ -15$，
系数化为$1$，得$y ＜ -5$。
所以当$y ＜ -5$时，$3y$与$7$的和的$\frac{1}{4}$小于$-2$。
【答案】
(1) $x ≥ -\frac{1}{4}$；
(2) $x ≥ -\frac{1}{2}$；
(3) $y ≥ 2$；
(4) $y ＜ -5$。
【知识点】
1. 一元一次不等式解法；
2. 不等式文字转符号语言。
【点评】
本题主要考查一元一次不等式的实际应用，核心是准确将文字描述中的不等关系转化为数学不等式，同时需熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，尤其要注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向需改变，这是解题的易错点。
【难度系数】
0.8
这道题是根据文字描述列一元一次不等式并求解的问题，解题思路分为两步：
1. 先将题目中的文字语言转化为数学不等式：“不小于”对应“≥”，“大于或等于”对应“≥”，“不大于”对应“≤”，“小于”对应“＜”，依据每个小题的数量关系列出不等式。
2. 再按照一元一次不等式的标准求解步骤：去括号（去分母）、移项、合并同类项、系数化为1来计算，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向需要改变。
【解析】
(1)
根据题意，得$4x + 7 ≥ 6$，
移项，得$4x≥6-7$，
合并同类项，得$4x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{4}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{4}$时，$4x$与$7$的和不小于$6$。
(2)
根据题意，得$2(x + 1) ≥ 1$，
去括号，得$2x + 2 ≥ 1$，
移项，得$2x≥1-2$，
合并同类项，得$2x ≥ -1$，
系数化为$1$，得$x ≥ -\frac{1}{2}$。
所以当$x ≥ -\frac{1}{2}$时，$2(x + 1)$大于或等于$1$。
(3)
根据题意，得$y - 1 ≤ 2y - 3$，
移项，得$y-2y≤-3 + 1$，
合并同类项，得$-y ≤ -2$，
系数化为$1$，得$y ≥ 2$。
所以当$y ≥ 2$时，$y$与$1$的差不大于$2y$与$3$的差。
(4)
根据题意，得$\frac{1}{4}(3y + 7) ＜ -2$，
去分母，两边同乘以$4$，得$3y + 7 ＜ -8$，
移项，得$3y＜-8 - 7$，
合并同类项，得$3y ＜ -15$，
系数化为$1$，得$y ＜ -5$。
所以当$y ＜ -5$时，$3y$与$7$的和的$\frac{1}{4}$小于$-2$。
【答案】
(1) $x ≥ -\frac{1}{4}$；
(2) $x ≥ -\frac{1}{2}$；
(3) $y ≥ 2$；
(4) $y ＜ -5$。
【知识点】
1. 一元一次不等式解法；
2. 不等式文字转符号语言。
【点评】
本题主要考查一元一次不等式的实际应用，核心是准确将文字描述中的不等关系转化为数学不等式，同时需熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，尤其要注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向需改变，这是解题的易错点。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于 $x$ 的方程 $5a + x = -3$ 的解是负数，求 $a$ 的取值范围。
答案
答题卡粘贴处（作答部分）：
解：
解方程 $5a + x = -3$，得：
$x = -3 - 5a$，
由题意知，方程的解 $x$ 是负数，即：
$-3 - 5a ＜ 0$，
移项得：
$-5a ＜ 3$，
除以-5（注意，当除以负数时，不等号方向要反转）得：
$a ＞ -\frac{3}{5}$，
故 $a$ 的取值范围是 $a ＞ -\frac{3}{5}$。
解：
解方程 $5a + x = -3$，得：
$x = -3 - 5a$，
由题意知，方程的解 $x$ 是负数，即：
$-3 - 5a ＜ 0$，
移项得：
$-5a ＜ 3$，
除以-5（注意，当除以负数时，不等号方向要反转）得：
$a ＞ -\frac{3}{5}$，
故 $a$ 的取值范围是 $a ＞ -\frac{3}{5}$。
解析
【分析】
首先，我们需要先解出关于$x$的一元一次方程，得到$x$用含$a$的代数式表示的结果；接着，根据题目中“方程的解是负数”这一条件，也就是$x＜0$，将$x$的表达式代入这个不等式，得到关于$a$的一元一次不等式；最后解这个不等式，注意在不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变，从而求出$a$的取值范围。
【解析】
解：解方程 $5a + x = -3$，
移项可得：$x = -3 - 5a$，
因为方程的解$x$是负数，所以有：
$-3 - 5a ＜ 0$，
移项得：$-5a ＜ 3$，
不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：
$a ＞ -\frac{3}{5}$。
【答案】
$a ＞ -\frac{3}{5}$
【知识点】
一元一次方程解法、一元一次不等式解法、不等式性质
【点评】
本题综合考查一元一次方程与一元一次不等式的解法，核心是根据方程解的正负性构建不等式，解题时需特别注意：在不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向必须改变，这是容易出错的关键点。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要先解出关于$x$的一元一次方程，得到$x$用含$a$的代数式表示的结果；接着，根据题目中“方程的解是负数”这一条件，也就是$x＜0$，将$x$的表达式代入这个不等式，得到关于$a$的一元一次不等式；最后解这个不等式，注意在不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变，从而求出$a$的取值范围。
【解析】
解：解方程 $5a + x = -3$，
移项可得：$x = -3 - 5a$，
因为方程的解$x$是负数，所以有：
$-3 - 5a ＜ 0$，
移项得：$-5a ＜ 3$，
不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：
$a ＞ -\frac{3}{5}$。
【答案】
$a ＞ -\frac{3}{5}$
【知识点】
一元一次方程解法、一元一次不等式解法、不等式性质
【点评】
本题综合考查一元一次方程与一元一次不等式的解法，核心是根据方程解的正负性构建不等式，解题时需特别注意：在不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向必须改变，这是容易出错的关键点。
【难度系数】
0.7
7. 解不等式 $ax ＞ b(a ≠ 0)$。
答案
当$a＞0$时，
不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，因为$a＞0$，不等号方向不变，
解得$x＞\frac{b}{a}$；
当$a＜0$时，
不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，因为$a＜0$，不等号方向改变，
解得$x＜\frac{b}{a}$。
综上，当$a＞0$时，解为$x ＞ \frac{b}{a}$；当$a＜0$时，解为$x ＜ \frac{b}{a}$。
不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，因为$a＞0$，不等号方向不变，
解得$x＞\frac{b}{a}$；
当$a＜0$时，
不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，因为$a＜0$，不等号方向改变，
解得$x＜\frac{b}{a}$。
综上，当$a＞0$时，解为$x ＞ \frac{b}{a}$；当$a＜0$时，解为$x ＜ \frac{b}{a}$。
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次不等式求解问题，由于不等式两边同时除以一个数时，该数的正负会影响不等号的方向，题目仅给出$a≠0$，未明确$a$的正负，因此需要分$a＞0$和$a＜0$两种情况，结合不等式的性质分别求解。
【解析】
1. 当$a＞0$时：
根据不等式的性质2（不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变），将不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，可得：
$x＞\frac{b}{a}$
2. 当$a＜0$时：
根据不等式的性质3（不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变），将不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，可得：
$x＜\frac{b}{a}$
综上，当$a＞0$时，不等式的解为$x ＞ \frac{b}{a}$；当$a＜0$时，不等式的解为$x ＜ \frac{b}{a}$。
【答案】
当$a＞0$时，解为$x ＞ \frac{b}{a}$；当$a＜0$时，解为$x ＜ \frac{b}{a}$。
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查含参数的一元一次不等式求解，重点在于依据参数$a$的正负性分类讨论，易错点是忽略$a$为负数时不等号方向需改变，解题时需严格遵循不等式的性质，全面分析每种情况。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的一元一次不等式求解问题，由于不等式两边同时除以一个数时，该数的正负会影响不等号的方向，题目仅给出$a≠0$，未明确$a$的正负，因此需要分$a＞0$和$a＜0$两种情况，结合不等式的性质分别求解。
【解析】
1. 当$a＞0$时：
根据不等式的性质2（不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变），将不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，可得：
$x＞\frac{b}{a}$
2. 当$a＜0$时：
根据不等式的性质3（不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变），将不等式$ax＞ b$两边同时除以$a$，可得：
$x＜\frac{b}{a}$
综上，当$a＞0$时，不等式的解为$x ＞ \frac{b}{a}$；当$a＜0$时，不等式的解为$x ＜ \frac{b}{a}$。
【答案】
当$a＞0$时，解为$x ＞ \frac{b}{a}$；当$a＜0$时，解为$x ＜ \frac{b}{a}$。
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查含参数的一元一次不等式求解，重点在于依据参数$a$的正负性分类讨论，易错点是忽略$a$为负数时不等号方向需改变，解题时需严格遵循不等式的性质，全面分析每种情况。
【难度系数】
0.6
