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例 求不等式$\frac{x - 1}{2} ≥ \frac{2x - 3}{3}$的正整数解。
答案
去分母，得：$3(x - 1) ≥ 2(2x - 3)$
去括号，得：$3x - 3 ≥ 4x - 6$
移项，得：$3x - 4x ≥ -6 + 3$
合并同类项，得：$-x ≥ -3$
系数化为1，得：$x ≤ 3$
所以，不等式的正整数解为1，2，3。
去括号，得：$3x - 3 ≥ 4x - 6$
移项，得：$3x - 4x ≥ -6 + 3$
合并同类项，得：$-x ≥ -3$
系数化为1，得：$x ≤ 3$
所以，不等式的正整数解为1，2，3。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先按照一元一次不等式的标准求解步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出正整数解。具体思路如下：首先通过去分母去掉分数形式，简化不等式；接着去括号展开式子；然后移项将含未知数的项和常数项分别放在不等号两侧；再合并同类项简化式子；最后将未知数的系数化为1得到解集，最后在解集中找出所有正整数即可。
【解析】
去分母，得：$3(x - 1) ≥ 2(2x - 3)$
去括号，得：$3x - 3 ≥ 4x - 6$
移项，得：$3x - 4x ≥ -6 + 3$
合并同类项，得：$-x ≥ -3$
系数化为1，得：$x ≤ 3$
所以，不等式的正整数解为1，2，3。
【答案】
1，2，3
【知识点】
一元一次不等式的解法；正整数解的确定
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础题型，核心考查一元一次不等式的常规求解步骤，需要特别注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要发生改变，同时要准确从解集里筛选出符合要求的正整数解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先按照一元一次不等式的标准求解步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出正整数解。具体思路如下：首先通过去分母去掉分数形式，简化不等式；接着去括号展开式子；然后移项将含未知数的项和常数项分别放在不等号两侧；再合并同类项简化式子；最后将未知数的系数化为1得到解集，最后在解集中找出所有正整数即可。
【解析】
去分母，得：$3(x - 1) ≥ 2(2x - 3)$
去括号，得：$3x - 3 ≥ 4x - 6$
移项，得：$3x - 4x ≥ -6 + 3$
合并同类项，得：$-x ≥ -3$
系数化为1，得：$x ≤ 3$
所以，不等式的正整数解为1，2，3。
【答案】
1，2，3
【知识点】
一元一次不等式的解法；正整数解的确定
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础题型，核心考查一元一次不等式的常规求解步骤，需要特别注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要发生改变，同时要准确从解集里筛选出符合要求的正整数解。
【难度系数】
0.8
1. 填空题：
(1) 不等式$x ＞ - 2$的负整数解是。
(2) 不等式$x ＜ 3$的自然数解是。
(1) 不等式$x ＞ - 2$的负整数解是。
(2) 不等式$x ＜ 3$的自然数解是。
答案
(1) -1 ；(2) 0，1，2。
解析
(1) 对于不等式 $x ＞ -2$，负整数解需要满足两个条件：一是小于0，二是大于-2。因此，唯一满足这两个条件的负整数是 -1。
(2) 对于不等式 $x ＜ 3$，自然数解需要满足两个条件：一是大于等于0，二是小于3，因此满足这两个条件的自然数有0，1，2。
(2) 对于不等式 $x ＜ 3$，自然数解需要满足两个条件：一是大于等于0，二是小于3，因此满足这两个条件的自然数有0，1，2。
2. 选择题：
(1) 不等式$12 - 2x ＞ 4$的正整数解有()。
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
(2) 4 个连续自然数的和小于 24，这样的自然数组有()。
A. 3 组
B. 4 组
C. 5 组
D. 6 组
(1) 不等式$12 - 2x ＞ 4$的正整数解有()。
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
(2) 4 个连续自然数的和小于 24，这样的自然数组有()。
A. 3 组
B. 4 组
C. 5 组
D. 6 组
答案
【解析】：(1)解不等式$12 - 2x ＞ 4$，移项得$-2x＞4 - 12$，即$-2x＞ -8$，两边同时除以$-2$，不等号变向，得$x＜4$。正整数解为1，2，3，共3个。
(2)设最小的自然数为$n$，则4个连续自然数为$n$，$n+1$，$n+2$，$n+3$，它们的和为$4n + 6$。由题意得$4n + 6＜24$，移项得$4n＜18$，解得$n＜4.5$。$n$为自然数，所以$n=0$，1，2，3，4，共5组。
【答案】：BA
(2)设最小的自然数为$n$，则4个连续自然数为$n$，$n+1$，$n+2$，$n+3$，它们的和为$4n + 6$。由题意得$4n + 6＜24$，移项得$4n＜18$，解得$n＜4.5$。$n$为自然数，所以$n=0$，1，2，3，4，共5组。
【答案】：BA
解析
【分析】
(1) 要解决该题，需先解出一元一次不等式的解集，再从解集中筛选出正整数解并统计个数。解不等式时需遵循移项、系数化为1的步骤，特别注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变，最后数出正整数解的数量即可匹配选项。
(2) 对于连续自然数的问题，先设最小的自然数为$n$，根据连续自然数的特征表示出另外三个数，再依据它们的和小于24列出一元一次不等式，解出$n$的取值范围后，结合自然数的定义（包含0）确定$n$的所有可能取值，取值的个数即为符合条件的自然数组数。
【解析】
(1) 解不等式$12 - 2x ＞ 4$：
移项得：$-2x＞4 - 12$，
即$-2x＞ -8$，
两边同时除以$-2$，不等号变向，得$x＜4$。
小于4的正整数为1，2，3，共3个。
(2) 设最小的自然数为$n$，则4个连续自然数分别为$n$，$n+1$，$n+2$，$n+3$，它们的和为$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6$。
根据题意列不等式：$4n + 6＜24$，
移项得：$4n＜24 - 6$，即$4n＜18$，
解得：$n＜4.5$。
因为$n$是自然数，所以$n$可取0，1，2，3，4，共5组。
【答案】
BA
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的整数解、连续自然数的表示
【点评】
本题主要考查一元一次不等式的解法及整数解的确定，第一题需注意系数化为1时，不等式两边同除以负数要改变不等号方向；第二题要准确用未知数表示连续自然数，且不能忽略自然数包含0这一要点，整体属于基础题型，侧重对不等式基本解法和实际应用的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要解决该题，需先解出一元一次不等式的解集，再从解集中筛选出正整数解并统计个数。解不等式时需遵循移项、系数化为1的步骤，特别注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变，最后数出正整数解的数量即可匹配选项。
(2) 对于连续自然数的问题，先设最小的自然数为$n$，根据连续自然数的特征表示出另外三个数，再依据它们的和小于24列出一元一次不等式，解出$n$的取值范围后，结合自然数的定义（包含0）确定$n$的所有可能取值，取值的个数即为符合条件的自然数组数。
【解析】
(1) 解不等式$12 - 2x ＞ 4$：
移项得：$-2x＞4 - 12$，
即$-2x＞ -8$，
两边同时除以$-2$，不等号变向，得$x＜4$。
小于4的正整数为1，2，3，共3个。
(2) 设最小的自然数为$n$，则4个连续自然数分别为$n$，$n+1$，$n+2$，$n+3$，它们的和为$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6$。
根据题意列不等式：$4n + 6＜24$，
移项得：$4n＜24 - 6$，即$4n＜18$，
解得：$n＜4.5$。
因为$n$是自然数，所以$n$可取0，1，2，3，4，共5组。
【答案】
BA
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的整数解、连续自然数的表示
【点评】
本题主要考查一元一次不等式的解法及整数解的确定，第一题需注意系数化为1时，不等式两边同除以负数要改变不等号方向；第二题要准确用未知数表示连续自然数，且不能忽略自然数包含0这一要点，整体属于基础题型，侧重对不等式基本解法和实际应用的考查。
【难度系数】
0.8
3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1) $4(3x - 1) ＜ 5(2x + 1)$；
(2) $\frac{x - 2}{3} ≤ 2 - x$；
(3) $\frac{1 - x}{3} ≤ \frac{1 - 2x}{7}$；
(4) $1 - \frac{4x - 3}{2} ≥ \frac{5}{6} - \frac{4}{3}x$。
(1) $4(3x - 1) ＜ 5(2x + 1)$；
(2) $\frac{x - 2}{3} ≤ 2 - x$；
(3) $\frac{1 - x}{3} ≤ \frac{1 - 2x}{7}$；
(4) $1 - \frac{4x - 3}{2} ≥ \frac{5}{6} - \frac{4}{3}x$。
答案
(4)去分母，两边同乘6得：
6 - 3(4x - 3) ≥ 5 - 8x
去括号得：
6 - 12x + 9 ≥ 5 - 8x
合并同类项得：
15 - 12x ≥ 5 - 8x
移项得：
-12x + 8x ≥ 5 - 15
合并同类项得：
-4x ≥ -10
系数化为1（不等号方向改变）得：
x ≤ 5/2
数轴表示：在数轴上找到表示2.5的点，用实心圆点标出，从该点向左画射线。
6 - 3(4x - 3) ≥ 5 - 8x
去括号得：
6 - 12x + 9 ≥ 5 - 8x
合并同类项得：
15 - 12x ≥ 5 - 8x
移项得：
-12x + 8x ≥ 5 - 15
合并同类项得：
-4x ≥ -10
系数化为1（不等号方向改变）得：
x ≤ 5/2
数轴表示：在数轴上找到表示2.5的点，用实心圆点标出，从该点向左画射线。
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的求解问题，解题思路遵循一元一次不等式的常规解法步骤：首先观察到不等式含有分母，先通过不等式两边同乘各分母的最小公倍数（分母2、6、3的最小公倍数是6）去掉分母，将其转化为整数系数不等式；接着进行去括号操作，注意括号前负号对括号内各项符号的影响；再通过移项将含未知数的项与常数项分别移到不等式两侧，之后合并同类项；最后将未知数系数化为1，此时要留意系数为负数时不等号方向需改变。完成求解后，还需在数轴上正确表示解集，实心圆点代表包含该点，向左画射线表示所有小于等于该数的数。
【解析】
解不等式$1 - \frac{4x - 3}{2} ≥ \frac{5}{6} - \frac{4}{3}x$：
1. 去分母：不等式两边同时乘以6，得：
$6 - 3(4x - 3) ≥ 5 - 8x$
2. 去括号：根据去括号法则计算，得：
$6 - 12x + 9 ≥ 5 - 8x$
3. 合并同类项：合并左边常数项，得：
$15 - 12x ≥ 5 - 8x$
4. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，移项变号，得：
$-12x + 8x ≥ 5 - 15$
5. 合并同类项：计算同类项，得：
$-4x ≥ -10$
6. 系数化为1：不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$x ≤ \frac{5}{2}$
7. 数轴表示：在数轴上找到表示$\frac{5}{2}$（即2.5）的点，用实心圆点标出，从该点向左画射线。
【答案】
$x ≤ \frac{5}{2}$，数轴表示：在数轴上找到2.5对应的点，用实心圆点标注，从该点向左绘制射线。
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的性质
【点评】
求解该不等式时需注意：①去分母时，不等式的每一项都要乘最小公倍数，不能漏乘不含分母的项；②去括号时，括号前是负号，括号内所有项都要变号；③系数化为1时，若系数为负数，必须改变不等号方向，这是易出错点，需重点关注。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的求解问题，解题思路遵循一元一次不等式的常规解法步骤：首先观察到不等式含有分母，先通过不等式两边同乘各分母的最小公倍数（分母2、6、3的最小公倍数是6）去掉分母，将其转化为整数系数不等式；接着进行去括号操作，注意括号前负号对括号内各项符号的影响；再通过移项将含未知数的项与常数项分别移到不等式两侧，之后合并同类项；最后将未知数系数化为1，此时要留意系数为负数时不等号方向需改变。完成求解后，还需在数轴上正确表示解集，实心圆点代表包含该点，向左画射线表示所有小于等于该数的数。
【解析】
解不等式$1 - \frac{4x - 3}{2} ≥ \frac{5}{6} - \frac{4}{3}x$：
1. 去分母：不等式两边同时乘以6，得：
$6 - 3(4x - 3) ≥ 5 - 8x$
2. 去括号：根据去括号法则计算，得：
$6 - 12x + 9 ≥ 5 - 8x$
3. 合并同类项：合并左边常数项，得：
$15 - 12x ≥ 5 - 8x$
4. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，移项变号，得：
$-12x + 8x ≥ 5 - 15$
5. 合并同类项：计算同类项，得：
$-4x ≥ -10$
6. 系数化为1：不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$x ≤ \frac{5}{2}$
7. 数轴表示：在数轴上找到表示$\frac{5}{2}$（即2.5）的点，用实心圆点标出，从该点向左画射线。
【答案】
$x ≤ \frac{5}{2}$，数轴表示：在数轴上找到2.5对应的点，用实心圆点标注，从该点向左绘制射线。
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的性质
【点评】
求解该不等式时需注意：①去分母时，不等式的每一项都要乘最小公倍数，不能漏乘不含分母的项；②去括号时，括号前是负号，括号内所有项都要变号；③系数化为1时，若系数为负数，必须改变不等号方向，这是易出错点，需重点关注。
【难度系数】
0.7
